Vertiefung
Zur Orientierung
Wie bestimmt man Stammfunktionen zu vorgegebenen Funktionen? Diese Frage klären wir hier für Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen. Weitere Funktionenklassen werden in weiteren Kapiteln betrachtet.
Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen herleiten
Mit dem folgenden Applet kannst du jeweils überprüfen, ob deine Stammfunktionen korrekt gebildet sind. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Wie funktioniert das Applet?
Im unteren Fenster des Applets kann die Ausgangsfunktion $f$ eingegeben werden. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Zusätzlich wird im unteren Fenster zum Graphen der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.
Zum Herunterladen: stammfunktionen1.ggb
Aufgabe 1 ★★
(a) Betrachte Potenzfunktionen der Gestalt $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ mit natürlichen Zahlen $n$. Ergänze (wenn möglich) die Einträge in der Tabelle. Welche Schwierigkeit tritt im Fall $f(x) = x^{-1}$ auf?
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $\dots$ | |
| $f(x) = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ | |
| $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ | |
| $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ |
(b) Betrachte hier exemplarisch weitere Potenzfunktionen der Gestalt $f(x) = x^{r}$ (mit rationalen Zahlen $r$). Ergänze die Einträge in der Tabelle.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ | |
| $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ | |
| $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ | |
| $\dots$ |
(c) 🖊️ Formuliere eine allgemeine Potenzregel.
Stammfunktion einer Potenzfunktion
Ist $f$ eine Potenzfunktion der Gestalt $f(x) = x^r$ mit einer rationalen Zahl $r \neq -1$, dann ist $F(x) = \dots$ eine Stammfunktion von $f$.
Aufgabe 2 ★★
(a) Betrachte eine Funktion $h$ mit $h(x) = f(x) + g(x)$. Angenommen, man kennt eine Stammfunktion $F$ von $f$ und eine Stammfunktion $G$ von $g$. Wie kann man jetzt eine Stammfunktion von $h$ bilden? Ergänze die folgenden Argumentationen.
- Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann gilt $F' = f$.
- Wenn $G$ eine Stammfunktion von $g$ ist, dann ...
- Betrachte $H$ mit $H = \dots$.
- Für $H$ gilt nach der Summenregel für Ableitungen: $H' = \dots$.
- Also ist $H = \dots$ eine Stammfunktion von $h = f+g$.
(b) Ergänze die Summenregel zur Bestimmung von Stammfunktionen bei Summen von Funktionen.
Summenregel für Stammfunktionen
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ und $G$ eine Stammfunktion von $g$, dann ist ... eine Stammfunktion von $f+g$.
(c) Verdeutliche die Summenregel für Stammfunktionen an einem selbst gewählten Beispiel.
Aufgabe 3 ★★★
Entwickle analog eine Faktorregel für Stammfunktionen. Begründe sie mit einer Argumentationskette und verdeutliche sie an einem selbst gewählten Beispiel.
Faktorregel für Stammfunktionen
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann ist ...
Aufgabe 3 ★ ★
Sichere alle Ergebnisse im Wissensspeicher.
