Erarbeitung
Zur Orientierung
Wie bestimmt man Stammfunktionen zu vorgegebenen Funktionen? Diese Frage klären wir hier für Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen. Weitere Funktionenklassen werden in weiteren Kapiteln betrachtet.
Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen herleiten
Mit dem folgenden Applet kannst du jeweils überprüfen, ob deine Stammfunktionen korrekt gebildet sind. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Wie funktioniert das Applet?
Im unteren Fenster des Applets kann die Ausgangsfunktion $f$ eingegeben werden. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Zusätzlich wird im unteren Fenster zum Graphen der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.
Zum Herunterladen: stammfunktionen1.ggb
Aufgabe 1 ★
(a) Begründe, warum die im Applet voreingestellte Funktion $F$ keine Stammfunktion von $f$ ist.
(b) Ändere die Funktionsgleichung von $F$ so ab, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Kontrolliere anhand der Graphen im unteren Fenster.
(c) Trage das Ergebnis in der Tabelle ein. Bestimme für die weiteren Potenzfunktionen analog eine Stammfunktion.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^0 = 1$ | |
| $f(x) = x^1 = x$ | |
| $f(x) = x^2$ | |
| $f(x) = x^3$ | |
| $f(x) = x^4$ | |
| $\dots$ | |
| $f(x) = x^n$ |
(d) 🖊️ Formuliere aus der letzten Tabellenzeile eine allgemeine Regel und notiere dir die Regel im Wissensspeicher in der Box „Potenzregel“ und ergänze das Beispiel.
Stammfunktion einer Potenzfunktion
Ist $f$ eine Potenzfunktion der Gestalt $f(x) = x^n$ mit einer natürlichen Zahl $n\in\mathbb{N}$, dann ist $F(x) = \dots$ eine Stammfunktion von $f$.
Aufgabe 2 ★ ★
Betrachte exemplarisch einige ganzrationale Funktionen und bestimme Stammfunktionen
(a) Ergänze Stammfunktionen zu den vorgegebenen Funktionen in der Tabelle und weiteren selbst gewählten Ausgangsfunktionen. Kontrolliere die Ergebnisse jeweils (indem du die Ableitung bestimmst und/oder die Funktionen im Applet oben eingibst).
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^2 + x^4$ | |
| $f(x) = 2x^3$ | |
| $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ | |
| $f(x) = 3x^4 - 4x^3$ | |
| $f(x) = $ | |
| $f(x) = $ | |
| $f(x) = $ |
(b) Wie geht man vor, wenn man eine Stammfunktion zu einer ganzrationalen Funktion bestimmt. Formuliere eine Regel und erläutere sie an selbst gewählten Beispielen.
Aufgabe 3 ★ ★
Sichere die Ergebnisse im Wissensspeicher.
