Erarbeitung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt untersuchen wir systematischer, wie man Integralfunktion (und damit auch Integrale) durch Aufleiten der Randfunktion bestimmt.
Einen Fachbegriff für das Aufleiten einführen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass die Ableitung einer Integralfunktion zu einer Randfunktion
dieser Randfunktion entspricht. Das eröffnet die Möglichkeit, Integralfunktionen zu einer Randfunktion durch Aufleiten
zu bestimmen.
Wir führen für das „Aufleiten“ einer Funktionen einen Fachbegriff ein. Beim Ableiten entsteht aus einer Ausgangsfunktion $f$ eine Ableitungsfunktion $f'$. Beim „Aufleiten“ entsteht aus einer Ausgangsfunktion $f$ eine Funktion $F$, die als Stammfunktion von $f$ bezeichnet wird.
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ wird Stammfunktion von $f$ genannt genau dann, wenn $f$ die Ableitungsfunktion von $F$ ist bzw. wenn $F' = f$ gilt.
Aufgabe 1
Formuliere den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit dem Begriff Stammfunktion.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
Dann ...
Integralfunktionen mit Stammfunktionen bestimmen
Im Applet geht es darum, zu vorgegebenen Randfunktionen zugehörige Integralfunktionen (für verschiedene untere Grenzen) zu bestimmen. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: integralfunktion6.ggb
Aufgabe 1
(a)
Im Fall A ist der Funktionsterm der Integralfunktion $I_0$ bereits im Eingabefeld eingetragen.
Erkläre, wie man durch Aufleiten
zu diesem Funktionsterm gelangt.
(b) Ermittle für die Fälle B, C und D den Funktionsterm der Integralfunktion $I_0$. Kontrolliere ihn jeweils, indem du ihn in das Eingabefeld einträgst.
Aufgabe 2
(a) Betrachte die Randfunktion im Fall A mit der unteren Grenze $a = 2$. Der Funktionsterm der Stammfunktion $F(x) = 60x$ passt jetzt nicht mehr zu den Punkten von Graph $I_2$. Begründe, dass es weitere Stammfunktionen zur Randfunktion $f(x) = 50$ gibt. Ermittle die zur vorliegenden Situation passende Stammfunktion und gib den Funktionsterm im Eingabefeld ein.
(b) Gehe analog in den Fällen B, C und D für die untere Grenze $a = 2$ vor. Bestimme jeweils die passende Stammfunktion zur vorgegebenen Randfunktion und kontrolliere das Ergebnis.
Aufgabe 3
(a) Begründe anschaulich, dass man einen Funktionsterm für $I_2$ so gewinnen kann, wenn man bereits einen Funktionsterm für $I_0$ gefunden hat: $I_2(x) = I_0(x) - I_0(2)$.
(b) Verallgemeinere die Aussage in (a) und überprüfe sie im Applet: So kann man einen Funktionsterm für $I_a$ gewinnen, wenn man bereits einen Funktionsterm für $I_0$ gefunden hat: ...
Das Vorgehen verallgemeinern
Aufgabe 4
Erkläre mit den Vorüberlegungen das folgende Verfahren zur Bestimmung der Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$.
Bestimmung von Integralfunktionen mit Stammfunktionen
Betrachte eine Randfunktion $f$, die in einem Intervall $a \le x \le b$ keine Sprungstellen
hat (bzw. in diesem Intervall stetig ist).
-
Hauptsatzbedingung: $I_a'(x) = f(x)$
Bestimme eine Stammfunktion $F$ von $f$. Es gilt dann $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$. -
Ausgangsbedingung: $I_a'(a) = 0$
Die Bedingung $I_a(a) = 0$ ist erfüllt, wenn $c = -F(a)$ bzw. $I_a(x) = F(x) - F(a)$ gilt.
