Erkundung und Strukturierung – Integralberechnung mit Stammfunktionen
Das Wissen über Integralfunktionen rekapitulieren (Einstieg)
Die Übersicht verdeutlicht die im letzten Kapitel hergeleiteten fundamentalen Eigenschaften von Integralfunktionen.
Aufgabe 1
Erkläre anhand der Übersicht, wie man Integralfunktionen mit Hilfe von Stammfunktionen bestimmt und warum das so möglich ist.
Das Wissen über Integralfunktionen zur Integralberechnung ausnutzen (Erarbeitung)
Beispiel
Geg.: Randfunktion $f$ mit $f(x) = x+1$
Ges.: $\int\limits_1^3 f(x) dx$
Aufgabe 2
(a) Bestimme zunächst eine Stammfunktion $F$ zur Randfunktion $f$ mit $f(x) = x+1$.
(b) Bestimme mit der Stammfunktion $F$ eine Funktionsgleichung für die Integralfunktion $I_1$.
(c) Berechne mit Hilfe der Integralfunktion $I_1$ das gesuchte Integral.
(d) Überprüfe anhand des Graphen, ob der berechnete Wert plausibel ist.
Zur Kontrolle
(a) Z.B.: $F(x) = \frac{1}{2}x^2+x$
(b) $I_1(x) = F(x) - F(1) = (\underbrace{\frac{1}{2}x^2+x}_{F(x)}) - (\underbrace{\frac{1}{2}1^2+1}_{F(1)}) = \frac{1}{2}x^2+x - \frac{3}{2}$
(c) $\int\limits_1^3 f(x) dx = I_1(3) = F(3) - F(1) = (\underbrace{\frac{1}{2}3^2+3}_{F(3)}) - (\underbrace{\frac{1}{2}1^2+1}_{F(1)}) = 6$
(d)
Der (orientierte) Flächeninhalt des Trapezes beträgt $6$.
Integralberechnung mit einer Stammfunktion
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich ein Integral zur Randfunktion $f$ wie folgt berechnen:
$\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \dots$.
Aufgabe 3
Ergänze den Satz zur Integralberechnung mit einer Stammfunktion.
Eine neue Schreibweise für Integralberechnungen einführen (Vertiefung)
Bei der Integralberechnung mit Stammfunktionen bildet man die Differenz der Stammfunktionswerte an den Inegrationsgrenzen. Das folgende Beispiel zeigt, wie man solche Stammfunktionsdifferenzen mit einer Klammerschreibweise darstellt.
Beispiel: Klammerschreibweise für Stammfunktionendifferenzen
$\int\limits_1^3 \underbrace{\left( x+1 \right)}_{f(x)} \; dx = \left[ \underbrace{\frac{1}{2}x^2+x}_{F(x)} \right]_1^3 = \left( \underbrace{\frac{1}{2}3^2+3}_{F(3)} \right) - \left( \underbrace{\frac{1}{2}1^2+1}_{F(1)} \right) = \frac{15}{2} - \frac{3}{2} = 6$
Beachte die unterschiedliche Bedeutung der Klammern: Die eckige Klammer mit den beiden Zahlen an der rechten Klammer steht für eine Differenzbildung. Die runden Klammern werden benutzt, um algebraische Einheiten zu bilden.
Mit der Klammerschreibweise lässt sich der Satz zur Integralberechnung mit einer Stammfunktion auch so formulieren:
Integralberechnung mit einer Stammfunktion
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich ein Integral zur Randfunktion $f$ wie folgt berechnen:
$\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$
