Erarbeitung

3D-Abbildungen algebraisch beschreiben

Zur Vedeutlichung der Abbildungen verwenden wir das folgende Applet. Mache dich zunächst mit den Möglichkeiten des Applets vertraut.

Anleitung zum Applet

• In der 3D-Welt ist ein Raumschiff mit Hilfe von $7$ (sehr ausgedehnten) Punkten dargestellt, die z.T mit (sehr ausgedehnten) Strecken miteinander verbunden sind.
• Die 3D-Welt kann man drehen, um sich das Raumschiff aus unterschiedlichen Perspektiven anzuschauen. Zusätzlich kann man Hilfsebenen einblenden, die gelegentlich bei der Orientierung im Raum helfen können. Blende sie nur bei Bedarf ein.
• Mit der Schaltfläche [Ausgangsposition] kann man die ursprüngliche Position des Raumschiffs wiederherstellen.
• Mit einer affinen Abbildung der Gestalt $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ kann man das Raumschiff transformieren. Was das genau heißt, kannst du in den weiteren Aufgaben herausfinden. Die Abbildungsmatrix $A$ und den Verschiebevektor $\vec{v}$ kann man in den Eingabefeldern nach Wunsch vorgeben. Das transformierte Raumschiff wird mit roten Punkten dargestellt, das Ausgangsraumschiff mit blauen Punkten. Beachte, dass rote Punkte blaue Punkte überlagern können, so dass man das Ausgangsraumschiff ggf. nicht ganz sehen kann.
• Mit der Schaltfläche [Neue Position] wird das transformierte Raumschiff als neues Ausgangsobjekt gesetzt. Die nächte Transformation wird dann mit diesem Raumschiff durchgeführt. Auf diese Weise kann man mehrere Transformationen hintereinander durchführen.

Zum Herunterladen: abbildung_raumschiff1.ggb

Aufgabe 1 (★) – Verschiebungen

(a) Bewege das Raumschiff im Applet um $3$ Einheiten nach oben. Bewege es anschließend um $2$ Einheiten nach links und $1$ Einheit nach vorne.

(b) Ergänze die Einträge in der Übersicht.

Abbildung	algebraische Beschreibung
Verschiebung um $1$ Einheit in $x_1$-Richtung, $-2$ Einheiten in $x_2$-Richtung und $3$ Einheiten in $x_3$-Richtung.	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $

Aufgabe 2 (★★) – Spiegelungen

(a) Das Raumschiff soll umgebaut werden. Bei der Planung sollen verschiedene Spiegelungen ausprobiert werden:

• eine Spiegelung an der $x_1$-$x_3$-Ebene
• eine Spiegelung an der $x_2$-$x_3$-Ebene
• eine Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene

Führe diese Spiegelungen mit geeigneten Einstellungen an der Abbildungsmatrix $A$ durch. Tipp: Überlege dir anhand eines konkreten Punktes (wie z.B. $P(1|2|1)$), was die jeweilige Spiegelung bewirkt.

Welche Spiegelung verändert das Raumschiff überhaupt nicht?

(b) Ergänze die Einträge in der Übersicht.

Abbildung	algebraische Beschreibung
Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $
Spiegelung an der $x_1$-$x_3$-Ebene	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $
Spiegelung an der $x_2$-$x_3$-Ebene	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $

Aufgabe 3 (★★) – Streckungen

(a) Das Raumschiff soll vergrößert werden. Bei der Planung sollen verschiedene Streckungen ausprobiert werden:

• Streckung aller Dimensionenen mit dem Faktor $2$
• Streckung nur in $x_1$-Richtung mit dem Faktor $2$
• Streckung nur in $x_2$-Richtung und $x_3$-Richtung mit dem Faktor $2$

Beachte, dass bei diesen Streckungen die Abstände zwischen den Punkten ggf. vergrößert werden. Die Größe der Punkte selbst bleibt dabei gleich. Tipp: Überlege dir anhand eines konkreten Punktes (wie z.B. $P(1|2|1)$), was die jeweilige Streckung bewirkt.

(b) Ergänze die Einträge in der Übersicht.

Abbildung	algebraische Beschreibung
Streckung aller Dimensionenen mit dem Faktor $2$	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $
Streckung nur in $x_1$-Richtung mit dem Faktor $2$	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $
Streckung nur in $x_2$-Richtung und $x_3$-Richtung mit dem Faktor $2$	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $

Aufgabe 4 (★★★) – Drehungen

(a) Das Raumschiff soll gedreht werden. Folgende Fälle sollen durchgespielt werden:

• Drehung um die $x_3$-Ache um $90°$
• Drehung um die $x_2$-Ache um $90°$
• Drehung um die $x_1$-Ache um $90°$

Tipp: Schaue dir bei Bedarf noch einmal an, wie Drehungen um $90°$ im 2D-Fall durchgeführt werden. Berücksichtige, dass bei den geforderten Drehungen immer nur zwei Koordinaten betroffen sind.

(b) Ergänze die Einträge in der Übersicht.

Abbildung	algebraische Beschreibung
Drehung Drehung um die $x_1$-Ache um $90°$	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $
Drehung Drehung um die $x_2$-Ache um $90°$	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $
Drehung Drehung um die $x_3$-Ache um $90°$	$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}} $