Strukturierung - 3D-Koordinatensysteme
Zur Orientierung
Im Erkundungskapitel hast du bereits 3D-Koordinatensysteme verwendet. In diesem Abschnitt werden die dabei benutzten Zusammenhänge kurz zusammengestellt.
Ein 3D-Koordinatensystem verwenden
3D-Koordinatensysteme ermögliches es, die Lage von Punkten im 3D-Raum mit Zahlenangaben präzise zu beschreiben.
Aufgabe 1
Im folgenden Applet ist ein Punkt $P$ mit seinen Koordinaten zu sehen. Erläutere, wie die Koordinaten gebildet werden.
Die Lage des Punktes $P$ kann man verändern. Klicke hierzu (wiederholt) auf $P$ und bewege $P$ im Koordinatensystem. Beobachte, wie sich die koordinaten von $P$ verändern.
Zum Herunterladen: koordinatenPunkt3D.ggb
Aufgabe 2
Im Applet ist ein Koordinatensystem vorgegeben. Erläutere die folgenden Konventionen, die bei der Festlegung des 3D-Koordinatensystems benutzt werden.
3D-Koordinatensystem
Ein 3D-Koordinatensystem benutzt man, um die Position von Punkten im Raum mit Hilfe von Zahlen zu beschreiben. Wir verwenden hier folgende Konventionen:
- Das Koordinatensystem besteht aus drei Achsen, mit denen man Tiefe, Breite und Höhe zu einem Bezugspunkt beschreibt.
- Die drei Achsen sind paarweise senkrecht zueinander angeordnet und schneiden sich im Ursprung (als Bezugspunkt).
- Die Achsen werden als $x_1$-Achse, $x_2$-Achse und $x_3$-Achse bezeichnet.
- Die $x_1$-Achse zeigt
nach vorne
, die $x_2$-Achsenach rechts
und die $x_3$-Achsenach oben
.
Die Lage eines Punktes kann man dann mithilfe eines Zahlentripels (Liste dreier Zahlen) darstellen. Diese Zahlen beschreiben, wie viele Einheiten man vom Ursprung aus in $x_1$-Richtung, in $x_2$-Richtung und in $x_3$-Richtung bewegen muss, um zum Punkt zu gelangen.
3D-Vektoren verwenden
Vektoren werden in der 3D-Geometrie genauso verwendet wie in der 2D-Geometrie. Zur Verdeutlichung betrachten wir die Bewegung eines Raumschiffs im 3D-Raum.
Aufgabe 3
(a)
Mache dich mit dem Applet unten vertraut und teste das Bewegen des Raumschiffs
.
Zum Herunterladen: raumschiff_bewegen.ggb
(b) Im Applet werden Darstellungen der folgenden Art benutzt.
$\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \stackrel{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
Erläutere anhand solcher Darstellungen die Verwendung von Vektoren in der 3D-Geometrie.
Geometrische Deutung von 3D-Vektoren
3D-Vektoren kann man zur Beschreibung von Punkten und von Verschiebungen im 3D-Raum verwenden.
