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Erarbeitung - Abbildung des Einheitswürfels

Zur Orientierung

Ziel ist es, ein vertiefteres Verständnis über affine 3D-Abbildungen zu entwickeln. Hierzu entwickeln wir eine geometrische Deutung der zentralen Bestandteile einer affinen 3D-Abbildung.

Abbildungen geometrisch deuten

Wir verwenden das folgende Applet.

Anleitung zum Applet

In der 3D-Welt ist ein blau dargestellter Würfel mit der Kantenlänge $1$ zu sehen.
Die Abbildungsmatrix $A$ und der Verschiebevektor $\vec{v}$ einer affinen 3D-Abbildung $\alpha$ sind bereits eingestellt.
Der rot dargestellte Körper ist das Bild des Würfels bei der vorgegebenen affinen Abbildung $\alpha$.
Die affine 3D-Abbildung $\alpha$ kann man variieren, indem man andere Zahlen in die Eingabefelder zur Abbildungsmatrix $A$ und zum Verschiebevektor $\vec{v}$ eingibt.

Zum Herunterladen: affineabbildung3D.ggb

Aufgabe 1

(a) Mache dir im Applet klar:

Der blaue Würfel ist ein Einheitswürfel, der von den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $E_1(1|0|0)$, $E_2(0|1|0)$ und $E_3(0|0|1)$ aufgespannt wird.

(b) Berechne die Bildpunkte der in (a) genannten Eckpunkte bei der im Applet vorgegebenen affinen Abbildung $\alpha$. Benutze die vorgegebene Abbildungsmatrix $A$ und den vorgegebenen Verschiebevektor $\vec{v}$.

$\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} & \rightarrow & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \end{array}$

(c) Bestimme auch die folgenden Vektoren. Vergleiche mit der Vektorgleichung der vorgegebenen affinen 3D-Abbildung. Beschreibe, was hier auffällt.

$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{ OO' } & = & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}\\ \overrightarrow{ O'E_1' } & = & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{ O'E_2' } & = & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{ O'E_3' } & = & \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \end{array}$

(d) Deute die in (c) betrachteten Vektoren anhand des rot dargestellten Körpers im Applet.

Aufgabe 2

Formuliere das Ergebnis.

Geometrische Deutung einer affinen 3D-Abbildung

Betrachte eine affine 3D-Abbildung $\alpha$:

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(a) Deutung des Verschiebevektors:

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ beschreibt ...

(b) Deutung der Abbildungsmatrix:

Die Spaltenvektoren $\vec{a}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix}$, $\vec{a}_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix}$ und $\vec{a}_3 = \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix}$ der Abbildungsmatrix $A$ beschreiben ...

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