Einstieg - Fachbegriffe
3D-Abbildungen
Im Erkundungskapitel hast du geometrische 3D-Abbildungen durchgeführt. Das Applet zeigt ein Beispiel, bei dem eine Drehung um $90°$ um die $x_3$-Achse mit einer Verschiebung um $2$ Einheiten in $x_3$-Richtung kombiniert wird.
Zum Herunterladen: abbildung_raumschiff2.ggb
Bei der Abbildung im Applet handelt es sich um eine affine 3D-Abbildung. Solche Abbildungen haben die analoge Struktur zu affinen 2D-Abbildung.
Affine / lineare Abbildungen im Raum
Eine affine 3D-Abbildung ist eine 3D-Abbildung $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}$, die sich mit einer Abbildungsmatrix $A$ und einen Verschiebevektor $\vec{v}$ in der folgenden Weise beschreiben lässt:
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
Eine lineare 3D-Abbildung ist eine affine 3D-Abbildung mit dem Nullvektor als Verschiebevektor:
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Aufgabe 1
Im Erkundungskapitel hast du etliche Beispiele für affine 3D-Abbildungen kennengelernt. Nenne einige Beispiele für solche Abbildungen. Bei welchen dieser Abbildungen handelt es sich um lineare 3D-Abbildungen?
Zur Orientierung
Ziel der folgenden Abschnitte ist es, ein vertiefteres Verständnis über affine 3D-Abbildungen zu entwickeln.
