Vertiefung

Algebraische Abbildungsbeschreibungen geometrisch deuten

Zur Vedeutlichung der Abbildungen verwenden wir das folgende Applet.

Anleitung zum Applet

• In der 3D-Welt ist ein Raumschiff mit Hilfe von $7$ (sehr ausgedehnten) Punkten dargestellt, die z.T mit (sehr ausgedehnten) Strecken miteinander verbunden sind.
• Die 3D-Welt kann man drehen, um sich das Raumschiff aus unterschiedlichen Perspektiven anzuschauen. Zusätzlich kann man Hilfsebenen einblenden, die gelegentlich bei der Orientierung im Raum helfen können. Blende sie nur bei Bedarf ein.
• Mit der Schaltfläche [Ausgangsposition] kann man die ursprüngliche Position des Raumschiffs wiederherstellen.
• Mit einer affinen Abbildung der Gestalt $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ kann man das Raumschiff transformieren. Was das genau heißt, kannst du in den weiteren Aufgaben herausfinden. Die Abbildungsmatrix $A$ und den Verschiebevektor $\vec{v}$ kann man in den Eingabefeldern nach Wunsch vorgeben. Das transformierte Raumschiff wird mit roten Punkten dargestellt, das Ausgangsraumschiff mit blauen Punkten. Beachte, dass rote Punkte blaue Punkte überlagern können, so dass man das Ausgangsraumschiff ggf. nicht ganz sehen kann.
• Mit der Schaltfläche [Neue Position] wird das transformierte Raumschiff als neues Ausgangsobjekt gesetzt. Die nächte Transformation wird dann mit diesem Raumschiff durchgeführt. Auf diese Weise kann man mehrere Transformationen hintereinander durchführen.

Zum Herunterladen: abbildung_raumschiff1.ggb

Aufgabe 1 (★★)

(a) Betrachte die Abbildung mit der folgenden Vektorgleichung:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Was genau bewirkt diese Abbildung? Beschreibe das Verhalten auch mit dem Begriff Scherung.

(b) Untersuche weitere Möglichkeiten zur Scherung. Beschriebe sie jeweils mit geeigneten Vektorgleichungen.

Aufgabe 2 (★★★)

(a) Betrachte die Abbildung mit der folgenden Vektorgleichung:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Was genau bewirkt diese Abbildung? Beschreibe das Verhalten dieser Abbildung.

(b) Untersuche die folgenden, analog gebildeten Abbildungen. Was bewirken sie?

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$