Überprüfung - Affine Abbildungen im Raum

Aufgabe 1

Betrachte die folgende 3D-Abbildung:

$\alpha : \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

Ein 3D-Objekt (Raumschiff) wird mit folgenden (Orts-) Vektoren beschrieben:

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $

(a) Bestimme das Bild des 3D-Objekts bei der vorgegebenen 3D-Abbildung $\alpha$.

$\alpha: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$,
...

(b) Was leistet die 3D-Abbildung $\alpha$? Mache dir das anhand der Zordnungen aus Aufgabenteil (a) klar. Beschreibe die geometrische Abbildung in Worten.

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Aufgabe 2

Im folgenden Applet wird eine 3D-Abbildung $\alpha$ exemplarisch mit Hilfe eines 3D-Würfels und seines Bildes dargestellt.

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(a) Beschreibe in Worten, was die 3D-Abbildung $\alpha$ leistet.

(b) Der blaue Würfel hat die folgenden Eckpunkte:

$(1,1,2),(2,1,2),(2,2,2),(1,2,2),(1,1,3),(2,1,3),(2,2,3),(1,2,3)$

Gib einige Zuordnungen von $\alpha$ an

$\alpha: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$,
...

(c) Beschreibe die 3D-Abbildung $\alpha$ mit einer Vektorgleichung:

$\alpha : \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

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