Übungen - Affine Abbildungen im Raum
Aufgabe 1
Die Eckpunkte eines 3D-Objekts werden mit folgenden (Orts-) Vektoren beschrieben:
$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $
(a) Mache dir zunächst klar, wie das 3D-Objekt aussieht und wie es im 3D-Koordinatensystem liegt.
(b) Betrachte die folgende 3D-Abbildung:
$\alpha : \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
Berechne die Koordinaten der Bilder der Eckpunkte des 3D-Objekts bei der vorgegebenen 3D-Abbildung. Beschreibe die Abbildung in Worten. Überprüfe im Applet oben.
(c) Wie ändert sich das Bild des 3D-Objekts, wenn man die 3D-Abbildung wie folgt abändert? Überlege dir zunächst, wie sich das Abändern der Abbildung auf die Bildpunkte auswirkt. Überprüfe deine Vermutungen jeweils im Applet.
$\alpha : \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\alpha : \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\alpha : \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
Aufgabe 2
In dieser Aufgabe geht es darum, ein Raumschiff mit Hilfe von affinen Abbildungen zu steuern. Wähle mit den Kontrollkästchen (a)...(f) eine neue Position aus. Überlege dir, mit welchen geometrischen Abbildungen man das Raumschiff in diese neue Position bringen kann. Beschreibe diese geometrischen Abbildungen mit einer (oder mehreren) affinen Abbildungen. Gib sie im Applet passend ein. Du siehst dann, ob deine Steuerung erfolgreich war.
Zum Herunterladen: abbildung_raumschiff4.ggb
