Vertiefung - Lineare (Un-) Abhängigkeit
Zur Orientierung
Zur Beschreibung der Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt verwenden wir das in der Linearen Algebra fundamentale Konzept der linearen (Un-) Abhängigkeit.
Zusammenhänge mit einen neuen Fachkonzept beschreiben
Mit Hilfe des Applets hast du vermutlich Folgendes festgestellt:
Eine lineare / affine Abbildung erzeugt aus dem 3D-Einheitswürfel einen 3D-Körper genau dann,
wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatix bzw.
die Bilder der Einheitsvektoren $\overrightarrow{ O'E_1' }$, $\overrightarrow{ O'E_2' }$ und $\overrightarrow{ O'E_2' }$
in $3$ unterschiedliche Raumrichtungen zeigen
.
Zum Herunterladen: affineabbildung3D.ggb
Wir verallgemeinern das Konzept der linearen Unabhängigkeit, um diesen Sachverhalt zu beschreiben.
Für zwei Vektoren (die auch $3$-dimensional sein können), gilt diese Definition:
Lineare (Un-) Abhängigkeit
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k\cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k\cdot \vec{u}$ gilt.
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Für drei Vektoren (die auch $2$-dimensional sein können), gilt diese Verallgemeinerung:
Lineare (Un-) Abhängigkeit
Drei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der Vektoren sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt bzw. wenn es reelle Zahlen $p$ und $q$ gibt, sodass $\vec{u} = p\cdot\vec{v} + q\cdot\vec{w}$ oder $\vec{v} = p\cdot\vec{u} + q\cdot\vec{w}$ oder $\vec{w} = p\cdot\vec{u} + q\cdot\vec{v}$ gilt.
Drei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Beispiele
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ sind linear unabhängig, da man keinen Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen kann. Das sieht man hier direkt.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ sind linear unabhängig, da man keinen Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen kann. Das sieht man hier nicht direkt, das müsste man noch nachweisen.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{u} = 0 \cdot \vec{v} + 1 \cdot \vec{w}$ gilt.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{u} = 0 \cdot \vec{v} + 2 \cdot \vec{w}$ gilt.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -0.5 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{w} = 1 \cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v}$ gilt.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -0.5 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{w}$ gilt.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{w}$ gilt.
- $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{w}$ gilt.
Aufgabe 1
Benutze das Fachkonzept der linearen (Un-) Abhängigkeit, um in der folgenden Übersicht die noch ausstehenden Bedingungen zu formulieren.
| Bedingung | Beispiel | Bild des Einheitswürfels |
|---|---|---|
| ... | $\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0.5 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Der 3D-Einheitswürfel wird auf einen 3D-Körper abgebildet. |
| ... | $\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -0.5 & 0 & -0.5 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Der 3D-Einheitswürfel wird auf eine 2D-Fläche abgebildet. |
| ... | $\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -0.5 & 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Der 3D-Einheitswürfel wird auf eine 1D-Strecke abgebildet. |
| Alle drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind Nullvektoren. | $\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Der 3D-Einheitswürfel wird auf einen 0D-Punkt abgebildet. |
