Zusammenfassung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Berechnung von Flächeninhalten mit Integralen
Die Übersicht zeigt typische Situationen, in denen der Inhalt einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet werden soll.
|
Situation 1: Schnittstellen der Graphen: $a \lt b$ Lage der Graphen: $f(x) \ge g(x) \ge 0$ für $a \le x \le b$ Flächenberechnung: $\begin{array}{lcl} A & = & \int\limits_{a}^{b} f(x) dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) dx \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx \end{array}$ |
|
|
Situation 2: Schnittstellen der Graphen: $a \lt b$ Lage der Graphen: $f(x) \ge g(x)$ für $a \le x \le b$ Verschiebung der Graphen: $f_c(x) = f(x)+c$; $g_c(x) = g(x) + c$ Flächenberechnung: $\begin{array}{lcl} A & = & A_c \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [f_c(x) - g_c(x)] dx \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [(f(x)+c) - (g(x)+c)] dx \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx \end{array}$ |
|
|
Situation 3: Schnittstellen der Graphen: $a \lt b \lt c$ Lage der Graphen: $f(x) \ge g(x)$ für $a \le x \le b$ und $g(x) \ge f(x)$ für $b \le x \le c$ (d.h. Graph $f$ verläuft oberhalb von Graph $g$ im Intervall von $a$ bis $b$ und Graph $g$ verläuft oberhalb von Graph $f$ im Intervall von $b$ bis $c$) Flächenberechnung: $\begin{array}{lcl} A & = & \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx + \int\limits_{b}^{c} [g(x) - f(x)] dx \end{array}$ |
