Zusammenfassung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen – ein Flächenteil

Zur Flächenberechnung benutzt man die geometrische Deutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.

Situation A: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$ mit $a \lt b$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Beide Graphen verlaufen dabei nicht unterhalb der $x$-Achse. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. Argumentation: Mit den Integralen erhält man die Inhalte der Flächenstücke zwischen den Funktionsgraphen und der $x$-Achse. Die Abbildung verdeutlicht, wie man den Flächeninhalt des betrachteten Flächenstücks als Differenz von zwei Flächeninhalten erhält.
$A$	$=$	$\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$	$-$	$\int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$

Situation B: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$ mit $a \lt b$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Beide Graphen verlaufen dabei unterhalb der $x$-Achse. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. Argumentation: Mit den Integralen erhält man hier die orientierten Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen den Funktionsgraphen und der $x$-Achse. Beachte, dass diese jetzt einen negativen Wert haben. Die Integrale liefern also $-A_f$ und $-A_g$. Wenn man jetzt $(-A_f) - (-A_g)$ bildet, erhält man $A_g - A_f$. Das entspricht genau dem gesuchten Flächeninhalt $A$.
$A$	$=$	$\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$	$-$	$\int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$

Situation C: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$ mit $a \lt b$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. Argumentation: Mit den Integralen erhält man die orientierten Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen den Funktionsgraphen und der $x$-Achse. Wenn man den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $g$ und der $x$-Achse subtrahiert, dann subtrahiert man letztlich die Inhalte der Teilflächenstücke oberhalb der $x$-Achse und addiert den Inhalt des Teilflächenstücks unterhalb der $x$-Achse.
$A$	$=$	$\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$	$-$	$\int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen – mehrere Flächenteile

Bei mehreren Flächenteilen wendet man das oben beschriebene Verfahren auf die Teilflächen an.

Situation D: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$, $b$ und $c$ mit $a \lt b \lt c$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Graph $f$ verläuft im Intervall $b \lt x \lt c$ unterhalb von Graph $g$. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. Argumentation: Man betrachtet die Teilintervalle und wendet das oben beschriebene Verfahren an.
$A$	$=$	$\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$	$+$	$\int\limits_{b}^{c} g(x) \; dx - \int\limits_{b}^{c} f(x) \; dx$

Eine alternative Formel zur Flächenberechnung

Den Flächeninhalt einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen kann man alternativ bestimmen, indem man Integrale mit den Differenzen der betrachteten Funktionen bildet. Betrachte hierzu die im Applet dargestelle Situation.

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg5.ggb

Hier sind die beiden Randfunktionen $f$ und $g$ dargestellt, die im Intervall von $a$ bis $b$ ein Flächenstück einschließen. Dabei verlaäuft Graph $f$ im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$.

Zusätzlich ist im Applet der Graph der Funktion $h = f - g$ dargestellt. Man nennt $h$ die Differenzfunktion von $f$ und $g$.

Für jede Stelle $x$ gilt $h(x) = f(x) - g(x)$. Die im Applet violett eingefärbte Strecke zum Funktionswert $h(x)$ ist somit genauso lang wie die orange eingefärbte Strecke zur Differenz $f(x) - g(x)$. Wenn $x$ das Intervall $a \le x \le b$ durchläuft, dann überstreicht $h(x)$ denselben Flächeninhalt wie $f(x) - g(x)$. Man erhält somit folgende Formel zur Berechnung des Flächenstücks zwischen den beiden Funktionsgraphen:

$A = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$

Beachte, dass die Argumention zur Begründung der Formel unabhängig von der Lage des Flächenstücks ist. Im Applet kann man die Graphen von $f$ und $g$ mit dem Schieberegler $c$ beliebig nach oben und unten verschieben. Dabei verändern sich die Differenzen der Funktionswerte nicht. Das eingeschlossene Flächenstück hat immer denselben Flächeninhalt wie die Flächen zwischen der Differenzfunktion und der $x$-Achse.

Mit einer Integrationsregel erhält man die bereits oben gezeigte Formel zur Flächenberechnung:

$A = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) dx$

Wir erhalten somit zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen. Beachte, dass man bei der Verwendung der Differenzfunktion nur ein Integral berechnen muss.

Situation C: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$ mit $a \lt b$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist.
$A$	$=$	$\int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \;dx$	$=$	$\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$