Erarbeitung

Einen Flächeninhalt mit Integralen berechnen

Die Problemsituation wird im Applet verdeutlicht. Im Applet ist bereits ein Koordinatensystem vorgegeben. Passend zu diesem Koordinatensystem sind ebenfalls die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln vorgegeben. Beachte, dass man das Koordinatensystem auch anders sinnvoll setzen kann: z.B. so, dass der Scheitelpunkt von $g$ in den Koordinatenursprung fällt.

Zum Herunterladen: beetgartenschau4a.ggb

Aufgabe 1

Im Applet kann man Flächen ein- und ausblenden. Probiere das aus. Entwickle und beschreibe eine Strategie, mit der man den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe von Integralen berechnen kann.

Aufgabe 2

Schätze den gesuchten Flächeninhalt mit deiner Strategie ab. Es reicht, Näherungswerte für die Stellen $a$ und $b$ zu verwenden.

🔑 Hinweise zur Bestimmung der Stellen $a$ und $b$

Du hast folgende Möglichkeiten:

• Möglichkeit 1: Du kannst Werte für $a$ und $b$ näherungsweise im Koordinatensystem ablesen.
• Möglichkeit 2: Du kannst die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit der Bedingung $f(x) = g(x)$ herleiten. Zur Kontrolle: $a = - \sqrt{\frac{360}{29}} \approx \dots$ und $b = \sqrt{\frac{360}{29}} \approx \dots$.

🔑 Integralrechner zur Überprüfung der Integralberechnungen

Zum Herunterladen: integralrechner.ggb

Aufgabe 3

Wenn du die Flächeninhalte richtig berechnet hast, dann erhältst du einen Wert von $A \approx 18.8$. Für die Gartenbaufirma reicht dieser Wert aber noch nicht. Sie will den realen Flächeninhalt im Quadratmeter wissen. Auf der Seite Strecken messen kannst du das Beet im Gartenschaugelände in Kaiserslautern suchen und Streckenlängen vermessen. Setze hierzu geeignete Punkte und schau dir die Streckeninfos an. Nutze reale Streckenlängen, um den realen Flächeninhalt abzuschätzen.