Erarbeitung – Flächenberechnungen
Zur Orientierung
Ziel ist es, das Erdaushubproblem aus dem letzten Abschnitt mit Hilfe von Integralen zu bearbeiten.
Flächeninhalte mit Integralen berechnen
Hier noch einmal die Verdeutlichung der Problemsituation.
Problem umgangssprachlich: Der Erdaushub des Kanals soll genauso groß sein, wie die beiden Uferhügel zusammen.
Problem mathematisch: Für die zugehörigen Flächeninhalte soll gelten: $A_f = A_h + A_g$.
Zum Herunterladen: querschnittsflaechen1.ggb
Aufgabe 1
(a) Begründe, dass $A_f = \lvert \int\limits_{0}^{4} f(x) \; dx \rvert$. Erkläre, warum man hier den Betrag des Integrals bilden muss.
(b) Die Funktionsgleichung von $f$ muss vorab ausmultiplizieren, um das Integral mit den bekannten Regeln bestimmen zu können: $f(x) = \frac{3}{8} x \cdot (x-4) = \dots$.
(c) Bestimme das Integral mit einer Stammfunktion von $f$ und dann den Flächeninhalt $A_f$.
Aufgabe 2
Bestimme analog $A_g$ und $A_h$ und löse mit den Ergebnissen das Problem.
Aufgabe 3
Wie kann man $h$ abändern, so dass die Bedingung $A_f = A_h + A_g$ erfüllt ist? Wähle den Ansatz $h(x) = k \cdot x \cdot (x+3)$ und bestimme $k$ passend.
