Strukturierung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Flächeninhalte mit Integral berechnen
In den folgenden Aufgaben werden typische Situationen betrachtet, in denen der Inhalt einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet werden soll. Bearbeite die Aufgaben und dokumentiere die Überlegungen im Wissensspeicher.
Aufgabe 1
Betrachte die Situation im Applet: Die beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$. Graph $f$ verläuft im Intervall zwischen $a$ und $b$ nicht unterhalb von Graph $g$. Beide Graphen verlaufen dabei nicht unterhalb der $x$-Achse.
(a) Begründe geometrisch, dass $A = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$.
(b) Für die Funktionen im Applet gilt $f(x) = - x^2 + 4$ und $g(x) = 2 x^2 + 1$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -1$ und $b = 1$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
Aufgabe 2
Betrachte die Situation im Applet: Die beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$. Graph $f$ verläuft im Intervall zwischen $a$ und $b$ nicht unterhalb von Graph $g$.
(a) Benutze die Hilfsfunktionen $f_c$ und $g_c$ und begründe geometrisch, dass man $A$ auch in dieser Situation mit $A = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$ berechnen kann.
(b) Für die Funktionen im Applet gilt $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 -1$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -1$ und $b = 1$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
Aufgabe 3
Betrachte die Situation im Applet: Die beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen $a$, $b$ und $c$. Graph $f$ verläuft im Intervall zwischen $a$ und $b$ nicht unterhalb von Graph $g$ und Graph $g$ verläuft im Intervall zwischen $b$ und $c$ nicht unterhalb von Graph $f$.
(a) Begründe, dass $A = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx + \int\limits_{b}^{c} [g(x) - f(x)] dx$. Erkläre dabei, warum man hier zwei Integrale benutzt.
(b) Für die Funktionen im Applet gilt $f(x) = \frac{1}{4} x^3 - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ und $g(x) = \frac{1}{4}x$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -3$, $b = 1$ und $c = 2$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
