Strukturierung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Flächeninhalte mit Integral berechnen
Die Übersicht zweigt typische Situationen, in denen der Inhalt einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet werden soll. Bearbeite die Aufgaben unter der Übersicht.
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Situation 1: Schnittstellen der Graphen: $a \lt b$ Lage der Graphen: $f(x) \ge g(x) \ge 0$ für $a \le x \le b$ $\begin{array}{lcl} A & = & \int\limits_{a}^{b} f(x) dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) dx \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx \end{array}$ |
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Situation 2: Schnittstellen der Graphen: $a \lt b$ Lage der Graphen: $f(x) \ge g(x)$ für $a \le x \le b$ $\begin{array}{lcl} A & = & A_c \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [f_c(x) - g_c(x)] dx \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [(f(x)+c) - (g(x)+c)] dx \\ & = & \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx \end{array}$ |
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Situation 3: Schnittstellen der Graphen: $a \lt b \lt c$ Lage der Graphen: $f(x) \ge g(x)$ für $a \le x \le b$ und $g(x) \ge f(x)$ für $b \le x \le c$ $\begin{array}{lcl} A & = & \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx + \int\limits_{b}^{c} [g(x) - f(x)] dx \end{array}$ |
Aufgabe 1
Betrachte die Situation 1 in der Übersicht.
(a) Erläutere die Berechnung von $A$ anhand des Applets.
(b) Für die Funktionen im Applet gilt $f(x) = - x^2 + 4$ und $g(x) = 2 x^2 + 1$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -1$ und $b = 1$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
Aufgabe 2
Betrachte die Situation 2 in der Übersicht.
(a) Erläutere die Berechnung von $A$ anhand des Applets. Erkläre dabei die Rolle der Konstante $c$.
(b) Für die Funktionen im Applet gilt $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 -1$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -1$ und $b = 1$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
Aufgabe 3
Betrachte die Situation 3 in der Übersicht.
(a) Erläutere die Berechnung von $A$ anhand des Applets. Erkläre dabei, warum man hier zwei Integrale benutzt.
(b) Für die Funktionen im Applet gilt $f(x) = \frac{1}{4} x^3 - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ und $g(x) = \frac{1}{4}x$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -3$, $b = 1$ und $c = 2$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
