Zusammenfassung – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Geometrische Deutung des Integral
Ausgangspunkt ist die Verallgemeinerung des Flächeninhaltskonzepts..
Orientierter Flächeninhalt
Den orientierte Flächeninhalt einer Funktion $f$ zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ erhält man so:
Summe der Inhalte der Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse
minus
Summe der Inhalte der Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse
Flächenstücke oberhalb (bzw. unterhalb) der $x$-Achse tragen also positiv (bzw. negativ) zum orientierten Flächeninhalt bei.
Geometrische Deutung des Integrals
Wenn die Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ definiert ist und das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ existiert, dann kann man das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ geometrisch als orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ deuten.
Im folgenden Applet wird diese geometrische Sicht auf das Integral anhand einer Beispielfunktion verdeutlicht.
Zum Herunterladen: flaechenrechner1.ggb
Flächenberechnung mit dem Integral
Wenn man die Lage der Flächenstücke in Bezug auf die $x$-Achse beachtet, dann lassen sich mit dem Integral direkt Flächeninhalte zwischen dem Funktionsgraph und der $x$-Achse berechnen.
Fläche zwischen Funktionsgraph und $x$-Achses
Wenn Flächeninhalte von Flächen zwischen einem Funktionsgraph und der $x$-Achse mit dem Integral bestimmen werden sollen, dann ist darauf zu achten, dass das betrachtete Flächenstück vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der $x$-Achse liegt. Der Betrag des Integrals zu diesem Flächenstück liefert dann den Flächeninhalt des betrachteten Flächenstücks. Befinden sich Teile des Funktionsgraphen oberhalb und Teile unterhalb der $x$-Achse hat, dann muss das betrachtete Intervall in geeignete Teilintervalle aufgeteilt werden.
Wir verdeutlichen das Vorgehen anhand der Problemsituation im Applet.
Beispiel
Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 - \frac{1}{2}x + 1$ und das Intervall $-2 \leq x \leq 3$.
Die Funktion $f$ hat die Nullstellen $-1$, $1$ und $2$. Den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $2 \leq x \leq 3$ kann jetzt folgendermaßen berechnet werden:
$A = | \int\limits_{-2}^{-1} f(x) dx | + | \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx | + | \int\limits_{1}^{2} f(x) dx | + | \int\limits_{2}^{3} f(x) dx | \approx 5.5417$
Alternative Flächenberechnung mit dem Integral
Das folgende Applet zeigt einen alternativen Weg zur Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse auf:
Zum Herunterladen: flaechenrechner2.ggb
Die Teile vom Graphen von $f$, die unterhalb der $x$-Achse verlaufen, werden an der $x$-Achse gespiegelt. Dies lässt sich durch die Betrachtung des Betrags der Funktion $f$ erreichen.
Beispiel
Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 - \frac{1}{2}x + 1$ und das Intervall $-2 \leq x \leq 3$.
$A = \int\limits_{-2}^{3} | f(x) | dx 5.5417$
