Übungen – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse

Grundaufgaben

Aufgabe 1

Bestimme jeweils den Inhalt der eingfärbten Fläche.

	Graph mit eingefärbter Fläche	Funktionsgleichung
(a)		$f(x) = x(x-2)$
(b)		$f(x) = x^2 - x - 2$
(c)		$f(x) = \frac{1}{4}(x^2-1)(x^2-4)$
(d)		$f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x$

Aufgabe 2

Mit $A$ wird hier der Inhalt der Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ bezeichnet. Entscheide und begründe jeweils, ob $A = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$ gilt.

(a) $f(x) = \frac{1}{2}x - 1$; $a = 0$; $b = 4$

(b) $f(x) = x^2+1$; $a = -2$; $b = -1$

(c) $f(x) = (x+2)^2(x-2)^2$; $a = -2$; $b = 2$

(d) $f(x) = (x+2)(x-1)(x-5)$; $a = -2$; $b = 5$

Vertiefende Aufgaben

Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - c^2$ mit einer Konstante $c \ge 0$. Der Graph der Funktion $f$ schließt mit der $x$-Achse ein Flächenstück ein. Bestimme $c$ so, dass dieses Flächenstück den Inhalt $A = 36$ hat.

Aufgabe 4

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Bestimme Werte für die Intervallgrenzen $a$ und $b$ so, dass der Inhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ genau den Wert $1$ hat. Beachte: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten zur Wahl von $a$ und $b$. Ermittle mindestens drei ganz unterschiedliche Möglichkeiten.

Zum Herunterladen: integralrechneraufgabe4.ggb