Strukturierung – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Geometrische Deutung des Integral (Einstieg)
Ausgangspunkt ist die Verallgemeinerung des Flächeninhaltskonzepts..
Orientierter Flächeninhalt
Den orientierte Flächeninhalt einer Funktion $f$ zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ erhält man so:
Summe der Inhalte der Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse
minus
Summe der Inhalte der Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse
Flächenstücke oberhalb (bzw. unterhalb) der $x$-Achse tragen also positiv (bzw. negativ) zum orientierten Flächeninhalt bei.
Geometrische Deutung des Integrals
Wenn die Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ definiert ist und das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ existiert, dann kann man das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ geometrisch als orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ deuten.
Erläutere diese Deutung anhand der Beispielfunktion im Applet.
Zum Herunterladen: flaechenrechner1.ggb
Flächenberechnung mit dem Integral (Erarbeitung)
Wenn man die Lage der Flächenstücke in Bezug auf die $x$-Achse beachtet, dann lassen sich mit dem Integral direkt Flächeninhalte zwischen dem Funktionsgraph und der $x$-Achse berechnen.
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
Betrachte die Situation im Applet. Mit den roten Punkten auf der $x$-Achse kannst du die Intervallgrenzen einstellen. Achte darauf, dass $a \le b$ gilt.
Bestimme mit Hilfe des Applet die Inhalte folgender Flächen:
- Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a = -2$ bis $b = -1$
- Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a = -1$ bis $b = 1$
- Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a = -2$ bis $b = 0$
- Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a = 0$ bis $b = 3$
- Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a = -2$ bis $b = 3$
Aufgabe 2
Schreibe eine Anleitung, wie man den Inhalt einer Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse berechnet.
Alternative Flächenberechnung mit dem Integral (Vertiefung)
Aufgabe 3
Begründe, dass man den Inhalt einer Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse auch so darstellen kann.
$A = \int\limits_{a}^{b} |f(x)| \, dx$
