Lösungen zu Übungen – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgabe 1
Betrachte die Randfunktion $f$ mit $f(x) = 3x^2 - 1$. Welcher Funktionsterm gehört zur zugehörigen Integralfunktion $I_2$? Begründe.
- A: $I_2(x) = 6x$
- B: $I_2(x) = x^3$
- C: $I_2(x) = x^3-x-6$
- D: $I_2(x) = x^3-x$
Die Integralfunktion $I_2$ muss folgende Bedingungen erfüllen: $I_2'(x) = f(x)$ und $I_2(2) = 0$. Das trifft nur auf $I_2(x) = x^3-x-6$ zu.
- A: Es gilt $I_2'(x) = 6 \neq f(x)$
- B: Es gilt $I_2'(x) = 3x^2 \neq f(x)$
- C: Es gilt $I_2'(x) = 3x^2-1 = f(x)$ und $I_2(2) = 8-2-6 = 0$
- D: Es gilt $I_2'(x) = 3x^2-1 = f(x)$ und $I_2(2) = 8-2 = 6 \neq 0$
Aufgabe 2
Betrachte die Randfunktion $f$ mit folgendem Graph.
Welcher Funktionsgraph gehört zur zugehörigen Integralfunktion $I_2$? Begründe.
Die Integralfunktion $I_2$ muss folgende Bedingungen erfüllen: $I_2'(x) = f(x) = 1$ und $I_2(2) = 0$. Das trifft nur auf den roten Graph D zu.
Aufgabe 3
Gegeben sind die Graphen von vier Randfunktionen. In welchen Situationen hat Graph $I_0$ an der Stelle $x = 1$ die Steigung $1$? Begründe.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
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Die Funktion $f$ muss an der Stelle $x = 1$ stetig sein und es muss $f(1) = I_0'(1) = 1$ gelten. Das trifft nur auf die Situationen A und B zu.
- A: $f$ ist an der Stelle $x=1$ stetig und es gilt $f(1)=1$.
- B: $f$ ist an der Stelle $x=1$ stetig und es gilt $f(1)=1$.
- C: Die Bedingung $f(1)=1$ ist hier nicht erfüllt.
- D: $f$ ist an der Stelle $x=1$ nicht stetig.
Aufgabe 4
Gegeben ist der Graph einer Integralfunktion $I_{-1}$.
Welche Eigenschaften hat Graph $f$? Begründe.
- A: $f$ hat an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle.
- B: $f$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle.
- C: Graph $f$ verläuft im Intervall $0 \lt x \lt 1$ oberhalb der $x$-Achse.
- D: Graph $f$ hat an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt.
Beim Argumentieren verwenden wir den Zusammenhang $I_{-1}'(x) = f(x)$.
- A: $I_{-1}$ hat an der Stelle $x = -1$ eine negative Steigung. Da $f(-1) = I_{-1}'(-1)$, ist die Aussage falsch.
- B: $I_{-1}$ hat an der Stelle $x = 0$ einen Tiefpunkt. Also gilt $f(0) = I_{-1}'(0)$ = 0. Die Aussage ist also wahr.
- C: $I_{-1}$ hat im Intervall $0 \lt x \lt 1$ eine positive Steigung. Graph $f$ verläuft in diesem Intervall also oberhalb der $x$-Achse. Die Aussage ist also wahr.
- D: Wenn Graph $f$ an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt hätte, dann müsste Graph $I_{-1}$ an der Stelle $x = 1$ einen Wendepunkt haben. Das trifft aber nicht zu. Die Aussage ist also falsch.
