Anzahl von Auswahlmöglichkeiten

Einordnung und Zielsetzung

Im Kapitel Anzahl von Auswahlmöglichkeiten werden Urnenmodelle betrachtet, bei denen die Reihenfolge der gezogenen Objekte keine Rolle spielt. Folgende Zielsetzungen stehen dabei im Vordergrund:

Hier lernst du, ...

• ... wie Vorgänge im Alltag mit passenden Urnenmodellen beschrieben werden.
• ... wie bei Urnenziehungen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt werden.
• ... wie Anzahlen mit Binomialkoeffizienten beschrieben werden.
• ... wie Binomialkoeffizienten als Anzahl von Wegen in einem Gitternetz gedeutet werden.

Verwendung von Urnenmodellen

Die Überlegungen werden exemplarisch anhand der Urnenziehung „$3$ aus $8$“ durchgeführt. Hier werden $3$ Kugeln aus einer Urne mit $8$ durchnummerierten Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.

Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten wird bestimmt, indem

• von der Anzahl der möglichen Anordnungen beim Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge ausgegangen wird
• und dann durch die Anzahl der Permutationen einer Anordnung (die alle zur selben Auswahl führen) dividiert wird.

Für die Anzahl $N$ der verschiedenen Auswahlmöglichkeiten bei der Urnenziehung „$3$ aus $8$“ gilt somit:

$N = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}}$

Binomialkoeffizienten bei der Beschreibung verwenden

Da Binomialkoeffizienten bei der Behandlung von Binomialverteilungen benötigt werden, ist es günstig, wenn die Binomialkoeffizienten als Kurzschreibweise für Quotienten aus Produkten absteigender natürlicher Zahlen wie folgt eingeführt werden:

$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}}$ (gelesen: „$8$ über $3$“)

Zur Verdeutlichung von Binomialkoeffizienten wird das folgende Applet bereit gestellt:

Anleitung für das Applet

• Im oberen Auswahlblock kannst du die Felder anklicken und somit eine Auswahl an roten Feldern erzeugen.
• Den hervorgehobenen blauen Punkt kannst du unten im Gitternetz bewegen.
• Die Anzahl der (kürzesten) Wege im dargestellten Gitternetz vom Startpunkt ganz oben bis zu einem Gitterpunkt kann mit geeigneten Binomialkoeffizienten beschrieben und somit auch berechnet werden. Im Applet werden die zu den Punkten zugehörigen Binomialkoeffizienten angezeigt.

Zum Herunterladen: wegeimgitternetz3.ggb