Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit
Ergebnis oder Ereignis? Eine fachdidaktische Positionierung
Die Verwendung der Begriffe Ergebnis
und Ereignis
bereitet Schüler(innen) häufig Schwierigkeiten. Das liegt u.a. daran, dass sie
nicht trennscharf sind.
In Anwendungssituationen werden sie manchmal benutzt, um dasselbe zu beschreiben:
Ein und derselbe Realitätsausschnitt kann mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsmodellen
beschrieben werden. Ob etwas als Ergebnis oder Ereignis betrachtet wird, hängt dann von der gewählten Beobachtungsgröße bei der Modellierung
ab. Das wird im Kapitel Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten
am Beispiel Augensummen beim Werfen von 2 Würfeln
exemplarisch aufgezeigt.
2-Würfel-Augen-Modell:
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten |
|
| Ergebnisse: 11: roter Würfel eine 1 und oranger Würfel eine 1 12: roter Würfel eine 1 und oranger Würfel eine 2 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$ |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$ |
| Ereignisse: $S_{2}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 2 $S_{3}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 3 ... $S_{12}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 12 |
Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten: $S_{2} = \{ 11 \}$; $P(S_{2}) = \frac{1}{36}$ $S_{3} = \{ 12, 21 \}$; $P(S_{3}) = \frac{2}{36}$ $S_{4} = \{ 13, 22, 31 \}$; $P(S_{4}) = \frac{3}{36}$ ... $S_{12} = \{ 66 \}$; $P(S_{12}) = \frac{1}{36}$ |
2-Würfel-Summen-Modell:
| Realität | Modell | ||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Summe der Augenzahlen beobachten |
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| Ergebnisse: Summe beträgt 2 Summe beträgt 3 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{2, 3, 4, ..., 11, 12\}$ |
||||||||||||||||||||||||
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Augenkombinationen der beiden Würfel sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
|
Die Schwierigkeiten bei der Verwendung der Begriffe Ergebnis
und Ereignis
könnten vermieden werden, indem
bei der Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsmodellen komplett auf den Ergebnisbegriff verzichtet wird und nur den Ereignisbegriff verwendet.
Das würde aus fachlicher Sicht auch dem Vorgehen von Kolmogorov in der Fachwissenschaft entsprechen:
Bei der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen Ereignisse die wichtigere Rolle. Jedes Ergebnis kann mit einem Elementarereignis beschrieben werden.
Der Ereignisbegriff ist daher allgemeiner als der Ergebnisbegriff. Er ist zudem viel mächtiger, da mit ihm auch Situationen erfasst werden können,
bei denen es unmöglich ist, eine Wahrscheinlichkeitsfunktionen über Ergebnisse festzulegen.
Warum führen wir trotzdem beide Begriffe ein? Der Ansatz, von den möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment auszugehen, ist für einfache Zufallsexperimente viel naheliegender als direkt alle möglichen Ereignisse zu betrachten. Wir betrachten es als genetisches Vorgehen, mit dem naheliegenden Ansatz zu beginnen und diesen erst in komplexeren Anwendungssituationen bei Bedarf zu verallgemeinern.
Zielsetzungen
Das primäre Ziel im Kapitel Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten ist es, mit dem Ereignisbegriff ein weiteres zentrales Fachkonzept zur mathematischen Behandlung von Zufallsphänomenen kennen zu lernen. Wie bei Ergebnissen auch gehen wir vom realitätsbezogenen Begriffsinhalt aus und führen dann seine formal-korrekte Darstellung ein. Dabei steht die Verwendung des Ereigniskonzepts bei der Mathematisierung von Anwendungssituationen stets im Mittelpunkt.
Ereignisse werden im Alltag oft miteinander verknüpft: Dies ist eingetreten und dann das auch noch
.
Bei der Mathematisierung werden logische Operatoren zur Verknüpfung von Ereignissen mit entsprechenden Mengenoperatoren
eingesetzt. Die Behandlung dieses Themenkomplexes bietet die Möglichkeit, sich mit fundamentalen Konzepten der Aussagenlogik zu beschäftigen.
Eine ausufernde Ereignisalgebra wird dabei nicht intendiert. Es reicht, die in der Stochastik häufig benötigten Gegenereignisse und UND-Ereignisse
zu thematisieren. Ebenso reicht es, nur einige wenige Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisverknüpfungen einzuführen.
Die Zielsetzungen spiegeln sich in der Auflistung der Lernziele wider.
Hier lernst du, ...
- ... wie Ereignisse bei einem Zufallsexperiment beschrieben und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden.
- ... dass eine mathematische Beschreibung als Ergebnis oder Ereignis von der Modellierung der Anwendungssituation abhängen kann.
- ... wie die Wahrscheinlichkeit besonderer Ereignisse berechnet wird.
- ... wie man Ereignisse verknüpfen kann und wie Wahrscheinlichkeiten für solche verknüpften Ereignisse bestimmt werden.
Erkundung mit Spielen
Für die Erkundung des Ereigniskonzepts und für die Erkundung der Verknüpfungsmöglichkeiten bei Ereignissen werden Varianten realer Spiele verwendet.
17-und-4
Zum Herunterladen: spiel_17und4.ggb
Eine Spielanleitung findet man auf 17-und-4 – Einstieg.
Siedler von Catan
Zum Herunterladen: catan.ggb
Eine Spielanleitung findet man auf Siedler von Catan – Einstieg.
Von Vorteil ist dabei, dass echte und nicht-triviale Probleme mit mathematischen Mitteln bearbeitet werden.
