Erwartungswert und Standardabweichung
Einordnung und Zielsetzung
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße beschreibt das Zentrum der zugehörigen Wahrscheinlichkeisverteilung, die Standardabweichung die Streuung der Wahrscheinlichkeiten um dieses Zentrum. Im Kapitel Erwartungswert und Standardabweichung werden diese Kenngrößen für binomialverteilte Zufallsgrößen bestimmt. Diese Kenngrößen werden u.a. im Kapitel zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten benötigt. Folgende Zielsetzungen stehen dabei im Vordergrund:
Hier lernst du, ...
- ... was der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße beschreibt.
- ... wie der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet wird.
- ... was die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße beschreibt.
- ... wie die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet wird.
Experimentelle Bestimmung der Kenngrößen
Die experimentelle Bestimmung der Kenngrößen erfolgt mit Hilfe geeigneter Applets.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_ew_sa.ggb
Durch Variation der Parameter der Binomialverteilung kann die Regel zur Bestimmung des Erwartungswerts leicht selbst gefunden werden. Die Regel zur Bestimmung der Standardabweichung ist komplizierter. Sie lässt sich mit dem Applet exemplarisch überprüfen.
$\Sigma$-Regeln
Der Erwartungswert und Vielfache der Standardabweichung einer Zufallsgröße $X$ werden genutzt, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit Hilfe von Intervallwahrscheinlichkeiten grob zu charakterisieren.
Zum Herunterladen: binomialverteilung_sigma_regeln.ggb
Folgende Regeln können experimentell bestätigt werden:
Für $\sigma(X) > 3$ werden folgende Näherungswerte für die betrachteten Intervallwahrscheinlichkeiten erhalten:
$P(\mu-1\cdot\sigma\leq X \leq\mu+1\cdot\sigma) \approx 68\%$
$P(\mu-2\cdot\sigma\leq X \leq\mu+2\cdot\sigma) \approx 95.5\%$
$P(\mu-3\cdot\sigma\leq X \leq\mu+3\cdot\sigma) \approx 99.7\%$
Diese Regeln werden im Kapitel zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten benötigt.