Schätzen von Häufigkeiten
Einordnung und Zielsetzung
Das Schätzen von Häufigkeiten spielt bei statistischen Erhebungen eine wichtige Rolle, wenn aus dem Wissen über die Trefferwahrscheinlichkeit bei einer Grundgesamtheit eine Prognose über die Trefferhäufigkeit bei einer geplanten Stichprobe erstellt wird.
Im Kapitel Schätzen von Häufigkeiten werden Verfahren zur Erstellung statistisch fundierter Prognosen anhand der Binomialverteilung entwickelt. Diese vertiefen die im Kapitel Wahrscheinlichkeitsbegriff bereits thematisierten grundlegenden Zusammenhänge zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten. Folgende Zielsetzungen stehen dabei im Vordergrund:
Hier lernst du, ...
- ... wie mit Hilfe des Erwartungswerts und Vielfachen der Standardabweichung Prognoseintervalle für absolute und relative Trefferhäufigkeiten bei Bernoulli-Ketten bestimmt werden.
- ... wie diese Prognoseintervalle mit Sicherheitswahrscheinlichkeiten versehen werden, um signifikante Abweichungen vom erwartbaren Regelfall zu erfassen.
- ... wie Prognoseintervalle verwendet werden, um die Ergebnisse von Stichproben bei bekannter Trefferhäufigkeit einschätzen zu können.
Verwendung von Applets als kognitive Werkzeuge
Die Bestimmung von Prognoseintervallen erfolgt anhand konkreter Anwendungssituationen mit Hilfe bereitgestellter GeoGebra-Applets.
Das folgende Applet liefert Prognoseintervalle für die absolute Trefferhäufigkeit. Hierzu werden die Parameter der betrachteten Binomialverteilung und die gewünschte Sicherheitswahrscheinlichkeit vorgegeben. Daraus resultiert das – auch geeignet visualierte – Prognoseintervall.
Zum Herunterladen: prognoseintervalle4.ggb
Eine vertiefende Behandlung von Prognoseintervallen ist mit dem nächsten Applet möglich. Hier werden Prognoseintervalle für die absolute Trefferhäufigkeit und relative Trefferhäufigkeit angezeigt.
Zum Herunterladen: prognoseintervalle3.ggb
Die Auswertung der Intervallgrenzen verdeutlicht, dass die Breite von Prognoseintervallen für die relative Trefferhäufigkeit umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Länge der betrachteten Bernoulli-Kette sind. Diese, für die Praxis bedeutsame Tatsache, wird mit dem einblendbaren $\frac{1}{\sqrt{n}}$-Trichter verdeutlicht.
