Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung

Einordnung und Zielsetzung

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeiten für Trefferanzahlen bei Bernoulli-Ketten. Das Kapitel Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung führt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ein. Es schließt direkt an das Kapitel Bernoulli-Ketten und Trefferwahrscheinlichkeiten an. Folgende Zielsetzungen stehen im Kapitel Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung im Vordergrund:

Hier lernst du, ...

• ... was unter einer Binomialverteilung und einer binomialverteilten Zufallsgröße verstanden wird.
• ... wie Binomialverteilungen mit Histogrammen veranschaulicht werden.
• ... wie Werte einer Binomialverteilung – gegebenenfalls mit passenden Werkzeugen – berechnet werden.
• ... was unter kumulierten Wahrscheinlichkeiten verstanden wird und wie man sie mit passenden Werkzeugen bestimmt werden.

Veranschaulichung mit dem Galton-Brett

Wir nutzen das Galton-Brett als anschaulichen Zufallsgenerator für Binomialverteilungen. Mit dem folgenden Applet lassen sich Galton-Bretter mit verschiedenen Parametern simulieren. Das Applet zeigt eine typische Situation nach $1000$ Durchführungen eines Kugellaufs bei $10$ Stabreihen und einer Rechtswahrscheinlichkeit $p = 0.6$.

Zum Herunterladen: galton2.ggb

Ein Kugellauf kann als Bernoulli-Kette angesehen werden. Ein Treffer ist dabei eine Bewegung rechts am Stab vorbei. Die Häufigkeitsverteilung der Kugeln in den Behältern unterhalb der Stabreihen liefert so bei einer großen Anzahl von Kugeln näherungsweise die Binomialverteilung mit den zum Galton-Brett entsprechenden Parametern.

Zum Herunterladen: binomialverteilung1a.ggb

Nachschlagen von Werten von Binomialverteilungen

In der Praxis werden die Werte von Binomialverteilungen in Tabellenübersichten nachgeschlagen oder von passenden Programmen berechnet. Wir verwenden in der Regel passende GeoGebra-Applets für diesen Zweck. So lassen sich mit dem folgenden Applet kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen bestimmen.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_kumuliert1.ggb

Diese Applets haben (im Gegensatz zu Tabellen oder Taschenrechnerfunktionen) den Vorteil, dass die Wahrscheinlichkeitswerte nicht nur angegeben, sondern zusätzlich auch noch veranschaulicht werden.