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Erkundung - Umformung eines LGS

Äquivalenzumformung beim Lösen von Gleichungssystemen nutzen

Wenn man eine Gleichung nach einer Variablen auflösen will, dann benutzt man passende Äquivalenzumformungen. Im folgenden Beispiel wird beispielsweise die Äquivalenzumformungen "addiere auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl" eingesetzt, um die Gleichung zu vereinfachen.

Beispiel:

$\begin{array}{lrll} 4 x - 7 & = & 2 x + 3 & | - 2 x \\ 2 x - 7 & = & 3 & | + 7 \\ 2 x & = & 10 & | : 2 \\ x & = & 5 & | : 2 \end{array}$

Aus der Mittelstufe kennst du folgendes Vorgehen beim Lösen von Gleichungen.

Eine Äquivalenzumformung bei einer Gleichung ist eine Umformung der Gleichung, die die Lösungsmenge nicht verändert. Beim Gleichungslösen benutzt man die Strategie: Forme eine Gleichung mit Äquivalenzumformung solange um, bis man die Lösung direkt ablesen kann.

Äquivalenzumformungen spielen auch beim Lösen von Gleichungssystemen eine wichtige Rolle. Im Folgenden sollen Äquivalenzumformungen, die man hierfür einsetzt, genauer betrachtet werden.

Wir benutzen hierzu das folgende lineare Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1} & - & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ [2] & - x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ [3] & 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

Dieses Gleichungssystem hat die Lösung $(x_{1}; x_{2}; x_{3}) = (1; - 2; 4)$ . Das kannst du direkt durch Einsetzen der Werte in die Gleichungen überprüfen.

Gleichungen äquivalent umformen

Hier kannst du Experimente zum Umformen von Gleichungen durchführen.

Zum Herunterladen: rechnen1.ggb

Aufgabe 1

In der CAS-Ansicht von GeoGebra kann man mit Gleichungen rechnen. Probiere das aus, indem du folgende Ausdrücke eingibst und mit der [Return]-Taste auswertest. Beschreibe die Auswirkungen der Rechenoperationen auf die Gleichungen.

$2 \cdot G 1$
$4 G 3$
$(- 1) \cdot G 3$
$- G 1$
$0.5 G 3$
$G 1$
$0 \cdot G 3$
$G 1 + G 2$
$G 1 - G 2$
$3 G 1 + 2 G 3$

Ein Gleichungssystem äquivalent umformen

Die Rechenoperationen kannst man nutzen, um ein LGS umzuformen. In der CAS-Ansicht von GeoGebra kannst du untersuchen, wie sich solche Rechenoperationen auf die Lösungsmenge des LGS auswirken.

Zum Herunterladen: aequivalenz1.ggb

Aufgabe 2

Werte im Applet zunächst die Zeile 4 mit der [Return]-Taste aus. Dann wird die Lösung des LGS ${G 1, G 2, G 3}$ angezeigt. Gib anschließend die folgenden Befehle eine und werte sie mit der [Return]-Taste aus. Beschreibe die Auswirkungen der Rechenoperationen auf die Lösungsmenge des umgeformten Gleichungssystems.

$L ö s e ({2 G 1, G 2, G 3}, {x 1, x 2, x 3})$
$L ö s e ({G 1 + G 2, G 2, G 3}, {x 1, x 2, x 3})$
$L ö s e ({G 1, G 2 - G 3, G 3}, {x 1, x 2, x 3})$
$L ö s e ({3 G 1 + 2 G 3, G 2, 4 G 3}, {x 1, x 2, x 3})$
$L ö s e ({0 \cdot G 1, G 2, G 3}, {x 1, x 2, x 3})$

Aufgabe 3

Fasse zusammen: Welche Operationen bilden Äquivalenzumformungen bei einem linearen Gleichungssystem?