Erkundung - Komplexität eines LGS

Den Aufwand beim Lösen von linearen Gleichungssystemen einschätzen

Ein lineares Gleichungssysteme zu lösen kann sehr einfach, aber auch recht aufwendig sein. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, den Aufwand abzuschätzen. Hierzu werden die folgenden Gleichungssysteme vorgegeben.

LGS A:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & - & 4x_2 & + & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & 5x_2 & - & x_3 & = & 4 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & 2x_3 & = & -8 \end{array}$

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & & & & & = & -3 \\ [2] &\quad x_1 & & & + & x_3 & = & -2 \\ [3] &\quad 2x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -x_1 & & & & & = & 2 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & & & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & -2x_3 & = & 8 \end{array}$

LGS D:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad 2x_1 & + & 3x_2 & + & x_3 & = & 0 \end{array}$

LGS E:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & -2 \\ [2] &\quad & & x_2 & + & 2x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 4x_3 & = & -4 \end{array}$

LGS F:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & 4x_2 & & & = & 8 \\ [2] &\quad -x_1 & & & & & = & -3 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & -4 \end{array}$

Aufgabe 1

Du sollst vier von den vorgegebenen linearen Gleichungssystemen - hier ohne Hilfsmittel - lösen. Suche dir die aus, bei denen das am einfachsten geht und löse sie.

Aufgabe 2

Nach welchen Kriterien hast du dir in Aufgabe 1 die Gleichungssysteme ausgesucht. Erläutere kurz. Beschreibe den Aufbau von Gleichungssystemen, die sich direkt oder mit geringen Aufwand lösen lassen.

Aufgabe 3

Für Gleichungssysteme, die man direkt oder mit geringem Aufwand lösen kann, werden in der Fachliteratur die Begriffe "LGS in Diagonalform" und "LGS in Stufenform" benutzt. Was könnte damit gemeint sein? Erläutere kurz.