Lösung des Rätsels
Eine mathematische Modellierung
Eine gängige Strategie in der Mathematik besteht darin, unbekannte Größen mit Hilfe von Variablen zu beschreiben. Im vorliegenden Kontext bietet sich folgender Ansatz an:
- $x_1$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_2$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_3$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_4$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
- $x_5$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
Die Informationen in der Geschichte lassen sich dann mathematisch mit Hilfe von Gleichungen beschreiben:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 + x_2 & = & 12 \\ [2] &\quad x_2 + x_3 & = & 13.5 \\ [3] &\quad x_3 + x_4 & = & 11.5 \\ [4] &\quad x_4 + x_5 & = & 8 \\ [5] &\quad x_1 + x_3 + x_5 & = & 11 \end{array}$
Wenn es gelingt, die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, dann sind damit auch die Gewichte der Säcke bekannt und das Problem ist gelöst. Ziel ist es demnach, die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen.
Die Schwierigkeit besteht hier darin, dass in dem Gleichungssystem 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten vorkommen. Das sieht erst mal sehr kompliziert aus. Vielleicht gelingt es dir trotzdem, die Lösung zu bestimmen und so das Problem zu knacken.
Aufgabe 1
Versuche, das Gleichungssystem zu lösen. Entwickle erst eine Strategie, mit der man durch Kombination von Gleichungen die Anzahl der Variablen reduzieren kann.
Man kann versuchen, die Variablen $x_1$, $x_2$, $x_4$ und $x_5$ durch $x_3$ zu ersetzen. Dazu löst man Gleichungen passend nach Variablen auf und setzt sie ggf. ineinander ein.
Löse Gleichung $[1]$ nach $x_1$ und Gleichung $[2]$ nach $x_2$ auf. Setze das Ergebnis für $x_2$ in den Ausdruck für $x_1$ ein. Man erhält dann $x_1 = ... + x_3$. Bestimme analog eine Darstellung $x_5 = ... + x_3$. Setze die Ergebnisse in Gleichung $[5]$ ein und löse sie nach $x_3$ auf. Zur Kontrolle: $x_3 = 7$.
Wenn man alle 5 Gleichungen addiert, erhält man $2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + 2x_5 = 61$. Wenn man jetzt geeignet wieder Gleichungen subtrahiert, bleibt eine Gleichung übrig, in der nur die Variable $x_3$ vorkommt.
Subtrahiere 2-mal Gleichung $[1]$ und 2-mal Gleichung $4$. Löse dann die entstehende Gleichung nach $x_3$ auf. Zur Kontrolle: $x_3 = 7$.
