Steigung
Steigung und Steigungsdreieck
Definition
Bei einer linearen Funktion mit der Gleichung $\boxed{y=\textcolor{brown}{m}x+\textcolor{OliveGreen}{b}}$ heißt der Wert $\textcolor{brown}{m}$ Steigung.
Aufgabe
(a) Im unteren Applet kannst du die beiden Punkte P und Q verschieben. Das sogenannte Steigungsdreieck ändert sich jeweils mit. Probiere es aus.
Zum Herunterladen: steigung.ggb
(b) Setze die Punkte P und Q so, dass $\Delta x=1$. Beschreibe, wo du die Steigung am Steigungsdreieck ablesen kannst.
(c) Setze nun die Punkte Punkte P und Q doppelt so weit in x-Richtung auseinander, also $\Delta x=2$. Beschreibe, wie du nun am Steigungsdreieck die Steigung ermitteln kannst.
(d) Setze nun die Punkte Punkte P und Q so, dass $\Delta x=3$. Beschreibe, wie du nun am Steigungsdreieck die Steigung ermitteln kannst.
(e) Begründe den Zusammenhang zwischen der Steigung m und den beiden Dreiecksseiten $\Delta x$ und $\Delta y$, wie er in der folgenden Regel angegeben ist:
Regel
Bei einer linearen Funktion mit der Gleichung $y=mx+b$ lässt sich die Steigung $m$ am Steigungsdreieck so berechnen:
$$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.$$(f) Erkläre, wie du aus dem Steigungsdreieck ermitteln kannst, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Versetze dazu die Punkte P und Q in verschiedene Richtungen und prüfe deine Vermutung.
Punktsteigungsformel
Punktsteigungsformel
Bei einer linearen Funktion durch die Punkte $\textcolor{Purple}{P(x_P|y_P)}$ und $\textcolor{blue}{Q(x_Q|y_Q)}$ erhält man die Steigung $m$ durch die folgende Formel:
$$m=\dfrac{\textcolor{blue}{y_Q}-\textcolor{Purple}{y_P}}{\textcolor{blue}{x_Q}-\textcolor{Purple}{x_P}}.$$(a) Begründe die Punktsteigungsformel mithilfe des folgenden Applets:
Zum Herunterladen: punktsteigung.ggb
(b) Beschreibe, wodurch sich die folgende Formel von der Punktsteigungsformel unterscheidet, und begründe, weshalb auch dies Formel stimmt: $$m=\dfrac{\textcolor{Purple}{y_P}-\textcolor{blue}{y_Q}}{\textcolor{Purple}{x_P}-\textcolor{blue}{x_Q}}.$$ (Dazu kannst du mithilfe des Applets zwei Punkte P und Q festlegen und die Steigung mit beiden Formeln berechnen.)
