Was sind Nullstellen?

Eine Funktion benutzen

Im Hammerwurffinale bei den Olympischen Spielen 2012 in London gab es eine merkwürdige Szene im Hammerwurffinale der Frauen. Die Hammerwerferin Betty Heidler warf den Hammer für alle sichtbar über die 75m-Marke. Gemessen und angezeigt wurden zunächst aber nur 72,34m. Erst nach einem Protest und manuellen Nachmessungen mit einem Bandmaß wurde die korrekte Weite von 77,13m aufgenommen. Im folgenden Video ist diese Szena ab Minute 4 zu sehen.

Aufgabe zum Einstieg

Das folgende Applet soll das Vorgehen bei der Weitenmessung verdeutlichen: Der Hammer wird bei seinem Flug mehrfach fotografiert. Aus den Positionen wird automatisiert eine Funktion berechnet, die die Flugkurve des Hammers beschreibt. (Wie so etwas geht, werden wir an anderer Stelle betrachten.) Mit Hilfe der berechneten Funktion soll jetzt die Wurfweite bestimmt werden.

Zum Herunterladen: hammerwurf1.ggb

(a) Simuliere den Hammerwurf: Du musst hierzu nur die Schaltfläche [Wurf] anklicken. Mit der Schaltfläche [Funktion] erhältst du die Funktion, die die Bahnkurve des Hammers beschreibt.

(b) Schätze zunächst die Wurfweite ganz grob ab, indem du die Koordinaten des Hammers beim Aufprall am Boden im Koordinatensystem abliest.

(c) Bestimme die Koordinaten genauer, indem du immer passendere $x$-Werte in das Eingabefeld zur Funktionswerteberechnung $f(...) = ...$ eingibst. Versuche so, die Wurfweite experimentell auf 2 Nachkommastellen zu bestimmen.

(d) Formuliere als kurze Formel eine Bedingung , die der $x$-Wert zur Position des Hammers beim Aufprall erfüllen muss. Der Hammer soll dabei idealisiert als punktförmig (d.h. ohne Ausdehnung) betrachtet werden.

Begriff der Nullstelle

Die Grundidee

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Stellen, an denen der Graph von $f$ die $x$-Achse schneidet.

Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb

Im vorgegebenen Beispiel im Applet schneidet Graph $f$ die $x$-Achse an den Stelle $x = -2$, $x = 0$ und $x = 1$. Diese drei $x$-Werte sind somit die Nullstellen der Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 + x^3 - 2x^2$.

Eine Präzisierung

Die Präzisierung des Nullstellenbegriffs ist recht einfach.