Berechnung mit der abc-Formel
Die abc-Formel verwenden
Wir betrachten den Fall, dass die Nullstellen einer quadratischen Funktion gesucht sind.
geg.: $f(x) = - x^2 + 8x - 7$
ges.: Nullstellen von $f$
Ansatz: $f(x) = 0$
Wir benutzen die abc-Formel:
abc-Formel
Die quadratische Gleichung $\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{#008000}{c} = 0$ (mit $a \neq 0$) hat die Lösungen $$\boxed{x_{1/2} = \displaystyle{\frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2 - 4\textcolor{red}{a}\textcolor{#008000}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}}}.$$ Beachte, dass hier auch der Fall eintreten kann, dass es keine Lösung gibt, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel vorliegt.
Mit $f(x) = \textcolor{red}{\underbrace{-1}_{a}} x^2 + \textcolor{blue}{\underbrace{8}_{b}} x + \textcolor{#008000}{\underbrace{(-7)}_{c}}$ erhält man:
$x_{1/2} = \displaystyle{\frac{-\textcolor{blue}{8} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2-4\cdot\textcolor{red}{(-1)}\cdot \textcolor{#008000}{(-7)}}}{2\cdot\textcolor{red}{(-1)}}} =\displaystyle{\frac{-8 \pm \sqrt{64-28}}{-2}} = 4 \pm 3$
Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = 1$ und $x = 7$.
Aufgabe
Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.
- $f(x) = x^2 - 5x + 4$
- $f(x) = x^2 + x -2$
- $f(x) = x^2 - 4x +4$
- $f(x) = \frac{1}{10}x^2 - \frac{3}{2}x +5$
☑ Lösungscheck
Die Lösungsmengen sind {1;4}, {–2;1}, {2}, {–5;–10}.
