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Berechnung mit der abc-Formel

Die abc-Formel verwenden

Wir betrachten den Fall, dass die Nullstellen einer quadratischen Funktion gesucht sind.

geg.: $f (x) = - x^{2} + 8 x - 7$

ges.: Nullstellen von $f$

Ansatz: $f (x) = 0$

Wir benutzen die abc-Formel:

abc-Formel

Die quadratische Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$ (mit $a \neq 0$ ) hat die Lösungen $x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$ Beachte, dass hier auch der Fall eintreten kann, dass es keine Lösung gibt, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel vorliegt.

Mit $f (x) = \underset{a}{\underset{⏟}{- 1}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{8}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(- 7)}}$ erhält man:

$x_{1 / 2} = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2} = 4 \pm 3$

Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = 1$ und $x = 7$ .

Aufgabe

Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.

$f (x) = x^{2} - 5 x + 4$
$f (x) = x^{2} + x - 2$
$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$
$f (x) = \frac{1}{10} x^{2} - \frac{3}{2} x + 5$

☑ Lösungscheck

Die Lösungsmengen sind {1;4}, {–2;1}, {2}, {–5;–10}.

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