Wie berechnet man Nullstellen?
Die Nullstellen berechnen
Wir betrachten den im Applet vorgegebenen Hammerwurf.
Zum Herunterladen: hammerwurf2.ggb
Beim Aufprall des Hammers muss für den $x$-Wert des Hammerpunktes im Koordinatensystem die Bedingung $f(x) = 0$ erfüllt sein. Dies ist nämlich die Stelle $x$, an der der Graph auf die $x$-Achse trifft. Der gesuchte $x$-Wert ist somit eine Nullstelle der Funktion $f$.
Zur rechnerischen Bestimmung der Wurfweite muss man also die Gleichung $f(x) = 0$ lösen. Mit der konkreten Funktion heißt das also, die Gleichung $$\boxed{-0.01197 x^2 + 0.9004x + 1.78=0}$$ nach $x$ aufzulösen.
Eine Formel zur Nullstellenberechnung benutzen
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man mit der abc-Formel berechnen:
Die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ (mit $a \neq 0$) hat die Lösungen $$\boxed{x_{1/2} = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}}.$$ Beachte, dass hier auch der Fall eintreten kann, dass es keine Lösung gibt, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel vorliegt.
Aufgabe
(a) Benutze die abc-Formel, um die Lösungen der quadratischen Gleichung $-0.01197 x^2 + 0.9004x + 1.78 = 0$ zu bestimmen. Ermittle hierzu zunächst die konkreten Werte für $a$, $b$ und $c$ im vorliegenden Beispiel. Setze sie anschließend in die abc-Formel ein.
(b) Die abc-Formel liefert im obigen Fall zwei Lösungen. Begründe die Tatsache mithilfe des Graphen und erkläre, welche Lösunge hier die tatsächliche Wurfweite angibt.
Ausblick
Auf den folgenden Unterseiten erfährst du, wie man Nullstellen in anderen Fällen bestimmen kann:
