Faktorisierung durch Ausklammern
Den Funktionsterm in ein Produkt umwandeln
Im letzten Abschnitt hast du gesehen, dass es für eine Nullstellenberechnung günstig ist, wenn man den Funktionsterm in ein Produkt umwandeln kann. Oft hilft das Ausklammern von Teiltermen, um einen Funktionsterm in ein Produkt umzuwandeln
geg.: $f(x) = 2x - \frac{1}{4}x^2$
ges.: Nullstellen von $f$
Bed.: $f(x) = 0$
Durch Ausklammern erhält man $f(x) = 2x - \frac{1}{4}x^2 = x \cdot (2 - \frac{1}{4}x)$.
Jetzt kann man so schließen:
$\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } 2 - \frac{1}{4}x = 0 \\ & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } 2 = \frac{1}{4}x \\ & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } x = 8 \end{array}$
Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = 0$ $x = 8$.
Aufgabe 1
Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.
- $f(x) = x^3 - x^2 = x^2 \cdot (x-1)$
- $f(x) = x^2 + 2x$
- $f(x) = x^4 - x^2$
- $f(x) = x^4 - x^3$
- $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$
