Lösungen zu Übungen – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Grundaufgaben
Aufgabe 1
Bestimme jeweils den Inhalt der eingfärbten Fläche.
| Graph mit eingefärbter Fläche | Funktionsgleichung | |
|---|---|---|
| (a) |
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$f(x) = x(x-2)$ |
| (b) |
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$f(x) = x^2 - x - 2$ |
| (c) |
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$f(x) = \frac{1}{4}(x^2-1)(x^2-4)$ |
| (d) |
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$f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x$ |
| Graph mit eingefärbter Fläche | Funktionsgleichung | |
|---|---|---|
| (a) |
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$f(x) = x(x-2)$ Nullstellen: $0$; $2$ $A = | \int\limits_{-1}^{0} f(x) dx | + | \int\limits_{0}^{2} f(x) dx | + | \int\limits_{2}^{3} f(x) dx | = 4 $ |
| (b) |
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$f(x) = x^2 - x - 2$ Nullstellen: $-1$; $2$ $A = | \int\limits_{-1}^{2} f(x) dx | = 4.5 $ |
| (c) |
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$f(x) = \frac{1}{4}(x^2-1)(x^2-4)$ Nullstellen: $-2$; $-1$; $1$: $2$ $A = | \int\limits_{-2}^{-1} f(x) dx | + | \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx | + | \int\limits_{1}^{2} f(x) dx | = 2 $ |
| (d) |
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$f(x) = \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x$ Nullstellen: $-3$; $0$ $A = | \int\limits_{-3}^{0} f(x) dx | + | \int\limits_{0}^{1} f(x) dx | = 4.5 $ |
Aufgabe 2
Mit $A$ wird hier der Inhalt der Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ bezeichnet. Entscheide und begründe jeweils, ob $A = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$ gilt.
(a) $f(x) = \frac{1}{2}x - 1$; $a = 0$; $b = 4$
(b) $f(x) = x^2+1$; $a = -2$; $b = -1$
(c) $f(x) = (x+2)^2(x-2)^2$; $a = -2$; $b = 2$
(d) $f(x) = (x+2)(x-1)(x-5)$; $a = -2$; $b = 5$
| Daten | Entscheidung | |
|---|---|---|
| (a) | $f(x) = \frac{1}{2}x - 1$; $a = 0$; $b = 4$ |
Graph $f$ ist eine Gerade mit der Steigung $\frac{1}{2}$, die durch $(0|-1)$ verläuft.
Das Integral entspricht nicht dem Flächeninhalt $A$.
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| (b) | $f(x) = x^2+1$; $a = -2$; $b = -1$ |
Graph $f$ verläuft oberhalb der $x$-Achse.
Das Integral entspricht dem Flächeninhalt $A$.
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| (c) | $f(x) = (x+2)^2(x-2)^2$; $a = -2$; $b = 2$ |
Graph $f$ verläuft nicht unterhalb der $x$-Achse.
Das Integral entspricht dem Flächeninhalt $A$.
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| (d) | $f(x) = (x+2)(x-1)(x-5)$; $a = -2$; $b = 5$ |
Graph $f$ wechselt im betrachteten Intervall das Vorzeichen.
Das Integral entspricht nicht dem Flächeninhalt $A$.
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Vertiefende Aufgaben
Aufgabe 3
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - c^2$ mit einer Konstante $c \ge 0$. Der Graph der Funktion $f$ schließt mit der $x$-Achse ein Flächenstück ein. Bestimme $c$ so, dass dieses Flächenstück den Inhalt $A = 36$ hat.
Der Graph der Funktion $f$ ist eine Normalparabel, die um $c^2$ nach unten verschoben ist.
Zum Herunterladen: aufgabe3.ggb
Es gilt $f(x) = x^2 - c^2 = (x+c)(x-c)$. Die Funktion $f$ hat also die Nullstellen $-c$ und $c$.
Für den Flächeninhalt $A$ gilt dann: $A = | \int\limits_{-c}^{c} f(x) dx | = \frac{4}{3}c^3$. Die Bedingung $A = 36$ führt zur Gleichung $\frac{4}{3}c^3 = 36$ mit der Lösung $c =3$.
Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Bestimme Werte für die Intervallgrenzen $a$ und $b$ so, dass der Inhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ genau den Wert $1$ hat. Beachte: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten zur Wahl von $a$ und $b$. Ermittle mindestens drei ganz unterschiedliche Möglichkeiten.
Zum Herunterladen: integralrechneraufgabe4.ggb
Möglichkeit 1:
Gesucht ist ein $b$ mit $\int\limits_{-2}^{b} f(x) dx = 1$.
Diese Bedingung führt auf die Gleichung $(\frac{1}{4}b^2+b)-(\frac{1}{4}(-2)^2+(-2)) = 1$ mit u.a. der Lösung $b = 0$.
Also: $a = -2$ und $b = 0$
Möglichkeit 2:
Gesucht ist ein $a$ mit $\int\limits_{a}^{-2} f(x) dx = -1$.
Diese Bedingung führt auf die Gleichung $(\frac{1}{4}(-2)^2+(-2))-(\frac{1}{4}a^2+a) = -1$ mit u.a. der Lösung $a = -4$.
Also: $a = -4$ und $b = -3$
Möglichkeit 3:
Es gilt $|\int\limits_{-3}^{-2} f(x) dx| = 0.25$ und $\int\limits_{-2}^{-1} f(x) dx = 0.25$. Gesucht ist ein $b$ mit $\int\limits_{-1}^{b} f(x) dx = 0.5$.
Diese Bedingung führt auf die Gleichung $(\frac{1}{4}b^2+b)-(\frac{1}{4}(-1)^2+(-1)) = 0.5$ mit u.a. der Lösung $b = \sqrt{3}-2 \approx -0.27$.
Also: $a = -3$ und $b \approx -0.27$
