Erarbeitung

Für die Theoriebildung ist es günstig, die Fibonacci-Folge bei $a_0 = 0$ beginnen zu lassen. Wir betrachten also folgende Problemstellung:

Matrixmultiplikation zu Berechnung der Folgenglieder verwenden

Wir fassen jeweils $2$ Folgenglieder zu einem Fibonacci-Vektor zusammen:

$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$; $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$; $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$; $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$; ...

Also:

$\vec{v}_n = \begin{pmatrix} a_n \\ a_{n+1} \end{pmatrix}$ für $n = 0, 1, 2, \dots$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass man die Fibonacci-Vektoren mit der Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ berechnen kann:

$\vec{v}_1 = A \cdot \vec{v}_0$; $\vec{v}_2 = A \cdot \vec{v}_1$; $\vec{v}_3 = A \cdot \vec{v}_2$; ..., $\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_{n}$

(b) Begründe mit (a):

$\vec{v}_n = A^n \cdot \vec{v}_0$

Aufgabe 2

Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Wozu das gut ist, wird sich in den weiteren Aufgaben zeigen.

Zur Kontrolle

Eigenwerte: $\lambda_1 = \frac{-\sqrt{5}+1}{2}; \lambda_2 = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Eigenvektoren:
$\begin{array}{llll} \lambda_1 = \frac{-\sqrt{5}+1}{2} & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix}\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\ \lambda_2 = \frac{\sqrt{5}+1}{2} & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \end{array}$

Aufgabe 3

Betrachte die beiden folgenden Hilfsmatrizen $D$ und $T$:

$D = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}+1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{pmatrix}$

$T = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}-1}{2} & \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(a) Was fällt auf? Aus welchen Komponenten sind diese Hilfsmatrizen aufgebaut?

(b) Für die weiteren Berechnungen benötigt man auch die inverse Matrix $T^{-1}$:

$T^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

Für Rechenexperten: Vergewissere dich durch Nachrechnen, dass folgende Beziehung besteht:

$T \cdot T^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}-1}{2} & \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(c) Das ist jetzt wichtig für die weiteren Betrachtungen: Es gilt $T \cdot D \cdot T^{-1} = A$.

Für Rechenexperten: Vergewissere dich durch Nachrechnen, dass diese Beziehung tatsächlich besteht:

$T \cdot D \cdot T^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}-1}{2} & \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}+1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \dots = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = A$

Für die Berechnung kannst du alternativ ein Computeralgebrasystem benutzen. Gib in der nächsten Eingabezeile den Ausdruck $T \cdot D \cdot T^{-1}$ ein.

Aufgabe 4

Betrachte die beiden folgenden Hilfsmatrizen $D$ und $T$:

(a) Begründe:

$A^n = (T \cdot D \cdot T^{-1})^n = T \cdot D^n \cdot T^{-1}$

(b) Begründe:

$D^n = \begin{pmatrix} \left[\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\right]^n & 0 \\ 0 & \left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right]^n \end{pmatrix}$

(c) Für $\vec{v}_n$ erhält man dann folgende Formel.

$\vec{v}_n = A^n \cdot \vec{0} = (T \cdot D^n \cdot T^{-1}) \cdot \vec{v}_0$

Zur Berechnung benutzen wir ein Computeralgebrasystem:

Das Computeralgebrasystem liefert folgendes Ergebnis:

$\vec{v}_n = \begin{pmatrix} \frac{-1}{5}\sqrt{5}\left(\frac{1}{2}(-\sqrt{5}+1)\right)^n + \frac{1}{5}\sqrt{5}\left(\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)\right)^n \\ \dots \end{pmatrix} $

Wir betrachten nur die erste Komponente von $\vec{v}_n$. Zeige, dass man hieraus diese Formel durch Umformen herleiten kann:

$\vec{v}_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right] \\ \dots \end{pmatrix} $

Aufgabe 5

Benutze jetzt den Zusammenhang zur Fibonacci-Folge:

$\vec{v}_n = \begin{pmatrix} a_n \\ a_{n+1} \end{pmatrix}$ für $n = 0, 1, 2, \dots$

Vervollständige den Satz.