Einstieg
Begriffe einführen
Im letzten Kapitel wurde das folgende Populationsentwicklungsmodell untersucht.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix |
|---|---|
|
$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}$ |
Bei diesem Modell gibt es Verteilungsvektoren mit einem besonderen Verhalten. Bei bestimmten Verteilungen erhält man die nächste Verteilung, indem man die vorherige mit einer Zahl vervielfacht.
| Schritt | Verteilung | Zusammenhang |
|---|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$ | |
| $1$ | $\vec{v}_{1} = P \cdot \vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 6 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_{1} = 2 \cdot \vec{v}_{0}$ |
| $2$ | $\vec{v}_{2} = P \cdot \vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 12 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_{2} = 2 \cdot \vec{v}_{1}$ |
| $\dots$ |
Zur Charakterisierung dieses besonderen Verhaltens führen wir neue Begriffe ein. Diese sind wegen ihrer Bedeutung in der Linearen Algebra allgemein gefasst und beziehen sich nicht nur auf Populationsentwicklungen.
Eigenvektoren und Eigenwerte
Betrachte eine quadratische Matrix $A$. Wenn für einen Vektor $\vec{v}$, der nicht der Nullvektor ist, die Vervielfachungseigenschaft $A \cdot \vec{v} = \lambda \cdot \vec{v}$ mit einer reellen Zahl $\lambda$ gilt, dann nennt man den Vektor $\vec{v}$ Eigenvektor der Matrix $A$ und $\lambda$ Eigenwert der Matrix $A$.
Aufgabe 1
Benutze die neuen Begriffe, um das besondere Verhalten der oben gezeigten Populationsentwicklung zu beschreiben.
Zielsetzung
In den folgenden Abschnitte werden wir uns die Rolle von Eigenvektoren bei Prozessentwicklungen genauer anschauen.
