Übungen - Bestimmung von Eigenvektoren

Aufgabe 1

Prüfe, ob die folgenden Behauptungen stimmen. Begründe jeweils.

(a) A. behauptet: Die Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ hat die Eigenwerte $2$ und $-2$.

(b) B. behauptet: Die Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ hat den Eigenwert $2$.

(c) C. behauptet: Die Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ hat keine Eigenwerte.

(d) D. behauptet: Eine Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ hat maximal $2$ Eigenwerte.

(e) E. behauptet: Eine Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ kann auch den Eigenwert $0$ haben.

(f) F. behauptet: Eine Matrix $A$ mit $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ hat die Eigenwerte $a$ und $d$.

(g) G. behauptet: Eine Matrix $A$ mit $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ -1 & d \end{pmatrix}$ hat keine Eigenwerte.

(h) H. behauptet: Eine Matrix $A$ mit $A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{pmatrix}$ hat die Eigenwerte $-b$ und $-c$.

(i) I. behauptet: Die beiden Matrizen $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ haben dieselben Eigenwerte.

(j) J. behauptet: Die beiden Matrizen $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ haben dieselben Eigenwerte und folglich auch dieselben Eigenvektoren.

(k) K. behauptet: Es gibt eine Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, die die Eigenwerte $1$ und $4$ hat.

Aufgabe 2

Bestimme die Eigenvektoren der folgenden Matrizen.

(a) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(b) $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}$

(c) $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(d) $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Aufgabe 3

Gegeben ist die Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.

(a) Zeige, dass die Matrix $A$ die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren hat:

$\begin{array}{llll} \lambda_1 = -2 & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix} -0.2 \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\ \lambda_2 = 3 & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \end{array}$

(b) Aus den Eigenwerten und den Eigenvektoren werden die Hilfsmatrizen $D$ und $T$ gebildet:

$D = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

$T = \begin{pmatrix} -0.2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Zeige, dass $T^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0.2 \end{pmatrix}$ gilt.

Berechne $T \cdot D \cdot T^{-1}$. Was fällt auf?