Einstieg

Das Ziel klären

Im letzten Kapitel wurden Eigenvektoren beispielhaft für eine vorgegebene Matrix bestimmt. Hier noch einmal die betrachtete Matrix:

Die folgende Übersicht zeigt die wichtigsten Schritte bei der Bestimmung der Eigenwerte.

Eigenvektorgleichung	$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
zugehörigen Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (1 - \lambda) \cdot v_1 & + & 2 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad 4 \cdot v_1 & + & (3 - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$
LGS in Stufenform	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 4 \cdot (1 - \lambda) \cdot v_1 & + & 2 \cdot 4 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & [(1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 4] \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$
Eigenwertbedingung	$(1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 4 = 0$
Eigenwerte als Lösungen der Eigenwertbedingung	$\lambda = -1$; $\lambda = 5$
Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda = -1$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 8 \cdot v_1 & + & 8 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 0 & = & 0 \end{array} \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \; ; r \neq 0$
Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda = 5$	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -16 \cdot v_1 & + & 8 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 0 & = & 0 \end{array} \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1 \end{pmatrix} \; ; r \neq 0$

Aufgabe 1

Mache dich nochmal mit dem in der Übersicht gezeigten Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren vertraut. Erläutere hierzu die gezeigten Überlegungen.