Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren anhand eines Beispiels zu entwickeln. Wir betrachten hierzu das folgende Berechnungsproblem.
Geg.:
Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
Ges.:
Eigenvektoren der Matrix $A$
Eigenvektoren berechnen
Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $\lambda$ gibt mit $A \cdot \vec{v} = \lambda \cdot \vec{v}$. Die Zahl $\lambda$ ist dann der zum Eigenvektor $\vec{v}$ gehörende Eigenwert von $A$.
Im Fall der vorgegebenen Matrix $A$ muss also folgende Vektorgleichung erfüllt sein:
$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
Aufgabe 1
Zeige, dass man die Vektorgleichung in die folgenden Koordinatengleichungen überführen kann.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (1 - \lambda) \cdot v_1 & + & 2 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad 4 \cdot v_1 & + & (3 - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$
Aufgabe 2
Begründe mit der Voraussetzung $\vec{v} \neq \vec{0}$, dass $\lambda \neq 1$ und $\lambda \neq 3$ gelten muss.
Aufgabe 3
Das LGS wird mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in Stufenform gebracht. Ergänze die fehlenden Teile in der folgenden Übersicht.
| vorgegebenes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (1 - \lambda) \cdot v_1 & + & 2 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad 4 \cdot v_1 & + & (3 - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftarrow [1] \cdot 4$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[2] \leftarrow [2] \cdot (1 - \lambda)$ beachte: $(1 - \lambda) \neq 0$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \\ [2] &\quad \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[2] \leftarrow \dots$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 4 \cdot (1 - \lambda) \cdot v_1 & + & 2 \cdot 4 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & [(1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 4] \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ |
Aufgabe 4
Warum muss die Bedingung $(1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 4 = 0$ erfüllt sein, damit das LGS Lösungen hat? Begründe diese Bedingung mit Hilfe der Voraussetzung $\vec{v} \neq \vec{0}$.
Aufgabe 5
Löse die quadratische Gleichung $(1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 4 = 0$ nach der Variablen $\lambda$ auf.
Aufgabe 6
Betrachte $\lambda = -1$. Wenn man diesen Wert für $\lambda$ in das LGS in Stufenform aus Aufgabe 3 einsetzt, erhält man das LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 8 \cdot v_1 & + & 8 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 0 & = & 0 \end{array}$
Begründe: Das neu entstandene LGS hat unendlich viele Lösungen. Man kann sie in der folgenden Form darstellen:
$\underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit einer reellen Zahl $r \neq 0$
Aufgabe 6
Betrachte $\lambda = 5$. Wenn man diesen Wert für $\lambda$ in das LGS in Stufenform aus Aufgabe 3 einsetzt, erhält man das LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -16 \cdot v_1 & + & 8 \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 0 & = & 0 \end{array}$
Begründe: Das neu entstandene LGS hat unendlich viele Lösungen. Man kann sie in der folgenden Form darstellen:
$\underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = r \cdot \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit einer reellen Zahl $r \neq 0$
Aufgabe 7
Formuliere das Ergebnis:
Die Matrix $A$ hat Eigenvektoren der Form $\vec{v} = \dots$ zum Eigenwert $\lambda = \dots$ sowie Eigenvektoren der Form $\vec{v} = \dots$ zum Eigenwert $\lambda = \dots$.
