Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Vorgehen zur Bestimmung von Eigenvektoren verallgemeinernd zu beschreiben.
Die Eigenvektorgleichung umformen
Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $\lambda$ gibt, so dass folgende Eigenvektorgleichung erfüllt ist:
$A \cdot \vec{v} = \lambda \cdot \vec{v}$
Aufgabe 1
Betrachte eine beliebige $2 \times 2$-Matrix $A$ mit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Erläutere die folgenden Umformungsschritte der Eigenvektorgleichung.
| Umformung der Eigenvektorgleichung | Erläuterungen |
|---|---|
| $\underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | Eigenvektorgleichung |
| $\underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$ | ... |
| $\underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} - \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{0}}$ | ... |
| $\left[\underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} - \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E}\right] \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{0}}$ | ... |
| $\underbrace{\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix}}_{A - \lambda \cdot E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{0}}$ | ... |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad c \cdot v_1 & + & (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ | ... |
Aufgabe 2
Begründe: Die Umformungsschritte in Aufgabe 1 gelten nicht nur für beliebige $2 \times 2$-Matrizen $A$. Es gilt folgender Zusammenhang für beliebige quadratische Matrizen.
Eigenvektorbedingung
Für eine beliebige quadratische Matrix $A$ gilt: Ein Vektor $\vec{v} \neq \vec{0}$ ist ein Eigenvektor von $A$ genau dann, wenn es einen reelle Zahl $\lambda$ gibt, so dass die folgende Bedingung (mit der zu $A$ passenden Einheitsmatrix $E$) erfüllt ist:
$(A - \lambda \cdot E) \cdot \vec{v} = \vec{0}$
Das LGS zur Eigenwertgleichung umformen
Das LGS zur Eigenvektorgleichung kann man für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix genauso in Stufenform transformieren wie im Beispielfall. Für einige Umformungsschritte muss man allerdings weitere Voraussetzungen treffen.
| Umformungen unter der Voraussetzung $c \neq 0$ und $a \neq \lambda$ | Umformungen unter der Voraussetzung $b \neq 0$ und $d \neq \lambda$ |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad c \cdot v_1 & + & (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad c \cdot v_1 & + & (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ |
| $[1] \leftarrow [1] \cdot c$ $\quad$ Vor.: $c \neq 0$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot b$ $\quad$ Vor.: $b \neq 0$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad c \cdot (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot c \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad c \cdot v_1 & + & (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad b \cdot c \cdot v_1 & + & b \cdot (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ |
| $[2] \leftarrow [2] \cdot (a - \lambda)$ $\quad$ Vor.: $(a - \lambda) \neq 0$ | $[1] \leftarrow [1] \cdot (d - \lambda)$ $\quad$ Vor.: $(d - \lambda) \neq 0$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad c \cdot (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot c \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad c \cdot (a - \lambda) \cdot v_1 & + & (a - \lambda) \cdot (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (a - \lambda) \cdot (d - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad b \cdot c \cdot v_1 & + & b \cdot (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ |
| $[2] \leftarrow [2] + (-1) \cdot [1]$ | $[1] \leftarrow [1] + (-1) \cdot [2]$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad c \cdot (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot c \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad & & [(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c] \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad [(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c] \cdot v_1 & & & = & 0 \\ [2] &\quad b \cdot c \cdot v_1 & + & b \cdot (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$ |
Damit das LGS Lösungen mit $\vec{v} \neq \vec{0}$ hat (bzw. damit $A$ Eigenvektoren hat), muss die Bedingung $(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$ erfüllt sein. Das sieht man nicht direkt. Um das nachzuweisen, muss man eine ganze Reihe von Fällen durchspielen. Das wird in der folgenden Aufgabe geleistet.
Aufgabe 3
Die folgenden Aussagen kann man alle mit der Voraussetzung $\vec{v} \neq \vec{0}$ begründen. Begründe exemplarisch die Aussage in (a). Wenn du fit bist, dann begründe alle Aussagen.
(a) Wenn $c \neq 0$ und $a \neq \lambda$ gilt, dann muss $(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$ gelten.
(b) Wenn $b \neq 0$ und $d \neq \lambda$ gilt, dann muss $(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$ gelten.
(c) Wenn $a = \lambda$ (oder $d = \lambda$) gilt, dann muss $b \cdot c = 0$ und folglich $(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$ gelten.
(d) Wenn $c = 0$ (oder $b = 0$) gilt, dann muss $a = \lambda$ oder $d = \lambda$ und folglich $(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$ gelten.
Eine Eigenwertbedingung verwenden
Die vorangehenden Überlegungen zeigen, dass die Eigenwerte einer Matrix die Gleichung $(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$ erfüllen müssen.
Eigenwertbedingung
Für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ gilt: Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der folgenden Gleichung:
$(a - \lambda) \cdot (d - \lambda) - b \cdot c = 0$
Diese Gleichung nennt man auch charakteristischen Gleichung.
Aufgabe 4
Im Kapitel Inverse 2x2-Matrizen wurde die Determinate einer $2 \times 2$-Matrix eingeführt:
Unter der Determinate einer $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ versteht man den Ausdruck $\det(A) = a \cdot d - b \cdot c$.
Begründe: Die Eigenwertbedingung kann man aus so formulieren:
Eigenwertbedingung
Für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ gilt: Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der folgenden Gleichung:
$\det(A - \lambda \cdot E) = 0$
Eigenvektoren mit Hilfe von Eigenwerten bestimmen
Ist $\lambda$ ein Eigenwert von $A$, so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren durch Auflösen der Eigenvektorgleichung nach den Variablen $v_1$ und $v_2$.
Für eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ muss man das folgende LGS nach den Variablen $v_1$ und $v_2$ auflösen.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad (a - \lambda) \cdot v_1 & + & b \cdot v_2 & = & 0 \\ [2] &\quad c \cdot v_1 & + & (d - \lambda) \cdot v_2 & = & 0 \end{array}$
In der Übersicht sind die möglichen Fälle für eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ aufgelistet.
| Bedingung | Auflösung nach einer Variablen | Eigenvektoren |
|---|---|---|
| $a \neq \lambda$ |
$[1] \quad v_1 = -\frac{b}{a-\lambda} \cdot v_2$ Einsetzen von $v_1$ in $[2]$ liefert $0 = 0$ |
$\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} -\frac{b}{a-\lambda} \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$ |
| $d \neq \lambda$ |
$[2] \quad v_2 = -\frac{c}{d-\lambda} \cdot v_1$ Einsetzen von $v_2$ in $[1]$ liefert $0 = 0$ |
$\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{c}{d-\lambda} \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$ |
| $c \neq 0$ |
$[1] \quad v_1 = -\frac{d - \lambda}{c} \cdot v_2$ Einsetzen von $v_1$ in $[2]$ liefert $0 = 0$ |
$\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} -\frac{d - \lambda}{c} \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$ |
| $b \neq 0$ |
$[2] \quad v_2 = -\frac{a - \lambda}{b} \cdot v_1$ Einsetzen von $v_2$ in $[1]$ liefert $0 = 0$ |
$\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{a - \lambda}{b} \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$ |
| $a = \lambda$ und $b = 0$ und $c = 0$ | $\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$ | |
| $d = \lambda$ und $b = 0$ und $c = 0$ | $\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$ |
Aufgabe 5
Begründe diese Lösungen. Begründe auch, dass es keine weiteren Fälle geben kann.
