Überprüfung - Bestimmung von Eigenvektoren
Aufgabe 1
Gegeben ist die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.
(a)
Bestimme die Eigenwerte der Matrix $A$.
Zur Kontrolle
Die charakterische Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte erhält man so:
$\det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 4 \\ 3 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda) \cdot (2 - \lambda) - 4 \cdot 3 = \lambda^2 - 3\lambda - 10$
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Eigenwerte von $A$:
$\lambda = -2$ und $\lambda = 5$
(b)
Bestimme die Eigenvektoren der Matrix $A$.
Zur Kontrolle
Die Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda = -2$ müssen folgendes LGS erfüllen:
$\begin{array}{lrcrcrcr}
[1] &\quad (1 - (-2)) \cdot v_1 & + & 4 \cdot v_2 & = & 0 \\
[2] &\quad 3 \cdot v_1 & + & (2 - (-2)) \cdot v_2 & = & 0
\end{array}$
Für $\lambda = -2$ erhält man durch Auflösen des LGS $\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} -0.75 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda = 5$ müssen folgendes LGS erfüllen:
$\begin{array}{lrcrcrcr}
[1] &\quad (1 - 5) \cdot v_1 & + & 4 \cdot v_2 & = & 0 \\
[2] &\quad 3 \cdot v_1 & + & (2 - 5) \cdot v_2 & = & 0
\end{array}$
Für $\lambda = 5$ erhält man durch Auflösen des LGS $\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r \neq 0$.
