Übungen - Prozessentwicklung mit Eigenvektoren

Aufgabe 1

Betrachte einen Austauschprozess mit folgender Prozessmatrix:

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$

(a) Zeige mit geeigneten Berechnungen:

$\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_1 = 1$.
$\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = 0.4$.

(c) Begründe: $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 200 \\ 100 \end{pmatrix}$ ist eine stabile Verteilung bei dem betrachteten Austauschprozess.

(d) Begründe: Die Ausgangsverteilung $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \end{pmatrix}$ entwickelt sich auf lange Sicht zur Grenzverteilung $\vec{v}_{\infty} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \end{pmatrix}$.

Tipp

Stelle $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \end{pmatrix}$ als Linearkombination von $\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ dar:

$\begin{pmatrix} 100 \\ 200 \end{pmatrix} = 100 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \dots $

Aufgabe 2

Das Simulationstool ProSiTo zeigt das Modell zu einem Austauschprozess.

(a) Führe die Simulation in ProSiTo über mehrere Schritte durch. Beobachte, welche Grenzverteilung man hier erhält.

(b) Stelle ausgehend von (a) eine Vermutung auf, welcher Vektor ein Eigenvektor der Prozessmatrix sein könnte. Überprüfe die Vermutung. Gib auch den zum Eigenvektor gehörenden Eigenwert an.

Aufgabe 3

Im Kapitel Modellierung von Austauschprozessen wurde ein Sharing-System mit folgendem Prozessentwicklungsmodell betrachtet.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$

(a) Zeige mit geeigneten Berechnungen:

$\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_1 = 1$.
$\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = 0.5$.
$\vec{w}_3 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = 0.6$.

(b) Was lässt sich aus diesen Angaben zu den Eigenvektoren von $P$ schließen? Führe das selbst aus und verdeutliche es mit Berechnungen.