Überprüfung - Prozessentwicklung mit Eigenvektoren

Aufgabe 1

Betrachte das folgende Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = \begin{pmatrix} 0.5 & 4.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

(a) Zeige mit einer Berechnung:

$\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 30 \\ 10 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_1 = 2$.
$\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -30 \\ 10 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = -1$.

(b) Ergänze zu einer wahren Aussage:

Für $\vec{v}_0 = \vec{w}_1$ gilt: ...

Für $\vec{v}_0 = \vec{w}_1 + \vec{w}_2$ gilt: ...

Zur Verfügung stehen die folgenden Teilaussagen:

• Die Population stabilisiert sich auf lange Sicht bei der Verteilung $\vec{v}_0$.
• Die Population wächst exponentiell.
• Die Population zerfällt auf lange Sicht und stirbt aus.
• Die Population wechselt zwischen zwei Verteilungen hin und her.
• Die Population wächst auf lange Sicht exponentiell.
• Es ist keine Vorhersage über die langfristige Entwicklung der Population möglich.

Zur Kontrolle

Für $\vec{v}_0 = \vec{w}_1$ gilt $\vec{v}_{i} = 2^i \cdot \vec{v}_{0}$. Die Population wächst also exponentiell.

Für $\vec{v}_0 = \vec{w}_1 + \vec{w}_2$ gilt $\vec{v}_{i} = 2^{i} \cdot \vec{w}_1 + (-1)^{i} \cdot \vec{w}_2$.
$2^{i} \cdot \vec{w}_1$ wächst exponentiell. $(-1)^{i} \cdot \vec{w}_2$ wechselt zwischen zwei Verteilungen.
Mit dem dominanten Teil $2^{i} \cdot \vec{w}_1$ wächst die Population damit auf lange Sicht exponentiell.