Vertiefung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt wird weiterhin die Rolle von Eigenvektoren bei Prozessentwicklungen genauer untersucht.
Eigenvektoren bei der Prozessentwicklung verwenden
Wir betrachten hier noch einmal das folgende Populationsentwicklungsmodell.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix | Eigenvektoren und Eigenwerte |
|---|---|---|
|
$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}$ |
$\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_1 = 2$, d.h. $\underbrace{\begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}}_{P} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} = \underbrace{2}_{\lambda_1} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1}$ $\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = -0.4$, d.h. $\underbrace{\begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}}_{P} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2} = \underbrace{(-0.4)}_{\lambda_2} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2}$ |
Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.:
$\vec{v}_0 = 3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 1 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2}$.
Für diese Linearkombination der Eigenvektoren gilt:
$\vec{v}_i = 3 \cdot \underbrace{2^{i}}_{\lambda_1^{i}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 1 \cdot \underbrace{(-0.4)^{i}}_{\lambda_2^{i}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2}$
Aufgabe 1
(a) Begründe:
$\vec{v}_i \quad \underbrace{\approx}_{i \rightarrow \infty} \quad \underbrace{2^{i}}_{\lambda_1^{i}} \cdot 3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1}$.
(b) Begründe:
Der Prozess wächst auf lange Sicht exponentiell mit dem Wachstumsfaktor $2$. Überprüfe die Aussage im Simulationstool.
Aufgabe 2
Betrachte das folgende Populationsentwicklungsmodell.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix | Eigenvektoren und Eigenwerte |
|---|---|---|
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$P = \begin{pmatrix} 0.2 & 2 \\ 0.32 & 0.2 \end{pmatrix}$ |
$\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_1 = 1$. $\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = -0.6$. |
(a) Zeige durch Nachrechnen, dass die Prozessmatrix $P$ die angegebenen Eigenvektoren hat.
(b) Welche Aussage lässt sich direkt über $\vec{w}_1^{i}$ treffen?
(c) Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.
$\vec{v}_0 = 5 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 1 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2}$.
Welche Aussage lässt sich über die langfristige Entwicklung von $\vec{v}_0^{i}$ treffen? Kontrolliere dein Ergebnis im Simulationstool.
Aufgabe 3
Betrachte das folgende Populationsentwicklungsmodell.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix | Eigenvektoren und Eigenwerte |
|---|---|---|
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$P = \begin{pmatrix} 0.1 & 1 \\ 0.49 & 0.1 \end{pmatrix}$ |
$\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_1 = 0.8$. $\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}$ ist Eigenvektor von $P$ zum Eigenwert $\lambda_2 = -0.6$. |
(a) Zeige durch Nachrechnen, dass die Prozessmatrix $P$ die angegebenen Eigenvektoren hat.
(b) Welche Aussage lässt sich über $\vec{w}_1^{i}$ treffen?
(c) Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.
$\vec{v}_0 = 8 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2}$.
Welche Aussage lässt sich über die langfristige Entwicklung von $\vec{v}_0^{i}$ treffen? Kontrolliere dein Ergebnis im Simulationstool.
