Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde eine explizite Darstellung zur Fibonacci-Folge entwickelt. Dabei wurde ein Verfahren benutzt, dass man als Diagonalisierung bezeichnet. Wir skizzieren hier nur die Grundidee. Für weitere Ausführung musst du geeignete Fachliteratur hinzuziehen.
Eine Matrix diagonalisieren
Im letzten Kapitel wurde eine Diagonalisierung der Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ benutzt.
Hierzu wurden die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix bestimmt:
Eigenwerte: $\lambda_1 = \frac{-\sqrt{5}+1}{2}; \lambda_2 = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$
Eigenvektoren:
$\begin{array}{llll}
\lambda_1 = \frac{-\sqrt{5}+1}{2} & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix}\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\
\lambda_2 = \frac{\sqrt{5}+1}{2} & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0
\end{array}$
Mit diesen Eigenwerten und Eigenvektoren wurden folgende Matrizen gebildet:
$D = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}+1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{pmatrix}$
$T = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}-1}{2} & \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Es besteht dann folgender fundamentaler Zusammenhang:
$T \cdot D \cdot T^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}-1}{2} & \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{5}+1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \dots = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = A$
Man erhält somit folgende Diagonalisierung von $A$ mit der Diagonalmatrix $D$:
$A = T \cdot D \cdot T^{-1}$
