Vertiefung
Zielsetzung
Wir betrachten weiterhin das folgende Popualtionsentwicklungsmodell. Ziel ist es, das Verhalten der Population vorherzuagen.
Das Populationsentwicklungsmodell untersuchen
Im letzten Absatz wurde gezeigt, dass man für den Verteilungsvektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$ folgende einfache Entwicklungsformeln erhält:
$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = 2 \cdot \vec{v}_0$
$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_1 = P \cdot \left[2 \cdot \vec{v}_0\right] = 2 \cdot \left[P \cdot \vec{v}_0\right] = 2 \cdot \left[2 \cdot \vec{v}_0\right] = 2^2 \cdot \vec{v}_0$
$\vec{v}_3 = P \cdot \vec{v}_2 = P \cdot \left[2^2 \cdot \vec{v}_0\right] = 2^2 \cdot \left[P \cdot \vec{v}_0\right] = 2^2 \cdot \left[2 \cdot \vec{v}_0\right] = 2^3 \cdot \vec{v}_0$
...
$\vec{v}_i = 2^i \cdot \vec{v}_0$ für $i = 1, 2, \dots$
Gilt dieser Zusammenhang für die vorgegebene Prozessmatrix $P$ und beliebige Verteilungsvektoren? Betrachte hierzu einen exemplarisch gewählten Verteilungsvektor.
Aufgabe 1
Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}$
Verteilungsvektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix}$
Ges.:
$\vec{v}_1$ sowie Aussagen zur langfristigen Entwicklung der Verteilung
(a) Berechne $\vec{v}_1$ und kläre so, ob auch für den aktuell betrachteten Verteilungsvektor die Beziehung $\vec{v}_1 = 2 \cdot \vec{v}_0$ gilt.
$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix} = \dots$
(b) Berechne $\vec{v}_{10}$ mit Hilfe des Simulationstools oben. Zeige: $\vec{v}_{10} \approx 2^{10} \cdot \vec{v}_0$. Warum das so ist, wird im folgenden Kapitel gezeigt.
