Erkundung - Lösen eines LGS
Zielsetzung - ein Gleichungssystem zielgerichtet äquivalent umformen
Im Abschnitt "Komplexität von linearen Gleichungssystemen" hast du bereits erkannt, dass es für das Lösen günstig ist, wenn das LGS in Stufenform vorliegt.
Im Abschnitt "Umformung von linearen Gleichungssystemen" hast du Möglichkeiten kennen gelernt, wie man ein LGS umformen kann, ohne dass sich die Lösungsmenge dabei verändert.
Beides wird jetzt hier zusammengeführt. Ziel ist es, ein beliebiges LGS in Rechteckform in Stufenform äquivalent umzuwandeln.
Start: LGS in Rechteckform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$
Ziel: LGS in Stufenform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & 0x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$
oder eine Variante wie z.B.:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & 0x_3 & = & ... \end{array}$
Ein Verfahren zum zielgerichteten Umformen entwickeln
Mit dem interaktiven LGS-Tool kannst du jetzt die erforderlichen Umformungsschritte experimentell erkunden.
Hinweise zur Verwendung des LGS-Tools.
- Gib zunächst die im LGS vokommenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Eingabefelder ein.
- Zahlen kann man so darstellen: ganze Zahlen in der gewohten Form (wie 2 oder -2), Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt (wie 3.4 oder -2.7), Brüche mit einem Bruchstrich (wie 2/3 oder -12/23). Achte auf eine korrekte Darstellung.
- Wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren willst, dann gib den Multiplikationsfaktor im dafür vorgesehenen Eingabefeld ein und schließe mit dem [ok]-Button ab.
- Wenn du einen Multiplikationsfaktor im dafür vorgesehenen Eingabefeld eingibst und den [ok]-Button nicht drückst, dann wird die Gleichung vorerst trotzdem mit dem Faktor multipliziert. Sie erscheint dann in einer anderen Farbe. Das soll andeuten, dass diese Multiplikation nur temporär durchgeführt wird. Das brauchtst du, wenn du z.B. das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen Gleichung hinzuaddieren willst, ohne dass sich hierdurch die Gleichung verändert.
- Alle weiteren Button erklären sich wohl von selbst. Probiere alles aus, um dich mit den Funktionalitäten des LGS-Tools vertaut zu machen.
LGS-Tool (vorläufig)
Aufgabe 1
Gib das folgende lineare Gleichungssystem im LGS-Tool ein.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad 2x_1 & + & 3x_2 & + & x_3 & = & 0 \end{array}$
Nutze das LGS-Tool, um das gegebene LGS in Rechteckform schrittweise in Stufenform umzuformen. Beschreibe die Strategie, die man hier verwenden kann.
Aufgabe 2
Mit dem LGS-Tool kann man auch ein LGS in Stufenform weiter umformen, bis man eine Diagonalform gewonnen hat. Schaffst du das?
