Übungen - Lösen eines LGS

Aufgabe 1

Führe die angegebenen Umformungsschritte aus. Vergleiche die beiden Vorgehensweisen. Bestimme in beiden Varianten die Lösung.

Variante 1:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 3x_1& +& 4x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& 2x_1& -& x_2& -& 3x_3& =& 2\\ [3]& -4x_1& -& 8x_2& +& 3x_3& =& 3\end{array}$

$[2]\leftarrow [2]+[1]\cdot (-3)$

$\begin{array}{l}[1]...\\ [2]...\\ [3]...\end{array}$

$[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot 3$

$\begin{array}{l}[1]...\\ [2]...\\ [3]...\end{array}$

Variante 2:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 3x_1& +& 4x_2& -& x_3& =& 1\\ [2]& 2x_1& -& x_2& -& 3x_3& =& 2\\ [3]& -4x_1& -& 8x_2& +& 3x_3& =& 3\end{array}$

$[1]\leftarrow [1]+[2]\cdot 4$

$\begin{array}{l}[1]...\\ [2]...\\ [3]...\end{array}$

$[3]\leftarrow [3]+21]\cdot (-8)$

$\begin{array}{l}[1]...\\ [2]...\\ [3]...\end{array}$

Aufgabe 2

Löse mit dem Gauß-Verfahren auf zwei verschiedene Arten. Gehe geschickt vor. Dokumentiere alle Berechnungsschritte.

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 3x& -& 6y& +& 12z& =& -21\\ [2]& 3x& -& 5y& +& 2z& =& -27\\ [3]& 2x& +& y& -& 2z& =& -4\end{array}$

Aufgabe 3

Bei diesen Gleichungssystemen tritt beim Gauß-Verfahren eine Besonderheit auf. Erkläre, welcher Sonderfall hier vorliegt und wie man hier zu den Lösungen gelangt.

LGS 1:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& 2x_2& +& 2x_3& =& 1\\ [2]& -x_1& +& x_2& +& x_3& =& 1\\ [3]& 2x_1& -& 2x_2& -& 2x_3& =& -2\end{array}$

LGS 2:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& -& 2x_2& +& 2x_3& =& 1\\ [2]& -x_1& +& x_2& +& x_3& =& 1\\ [3]& 2x_1& -& 2x_2& -& 2x_3& =& 2\end{array}$