Erkundung - Lineare Gleichungen mit 3 Variablen

Lösungen einer linearen Gleichung bestimmen

Betrachte als Beispiel die folgende lineare Gleichung mit 3 Variablen:

$x_1-2x_2+4x_3=4$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass die Gleichung $x_1-2x_2+4x_3=4$ u.a. folgende Lösungen hat:

• $x_1=4;x_2=0;x_3=0$ bzw. $(x_1;x_2;x_3)=(4;0;0)$
• $x_1=2;x_2=1;x_3=1$ bzw. $(x_1;x_2;x_3)=(2;1;1)$

(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:

• $(...;0;1)$
• $(...;0;2)$
• $(...;0;3)$
• $(...;1;0)$
• $(...;1;1)$
• $(...;1;2)$
• $(...;2;1)$
• $(...;2;2)$
• $(...;3;3)$

(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $r\in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=4+2r-4s$ berechnet. Kurz:

$(x_1;x_2;x_3)=(4+2r-4s;r;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}$

Lösungen einer linearen Gleichung veranschaulichen

Betrachte weiterhin die folgende lineare Gleichung:

$x_1-2x_2+4x_3=4$

Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich in einem 3D-Koordinatensystem veranschaulichen.

Zum Herunterladen: lg3.ggb

Aufgabe 2

(a) Veranschauliche weitere Lösungen der Gleichung, indem du die Zahlentripel im Eingabefeld eingibst. Drehe dann das Koordinatensystem so, dann man erkennen kann, auf welchem geometrischen Gebilde alle Lösungen liegen.

(b) Welche Schlüsse lassen sich aus der folgenden Umformungen ziehen. Erläutere kurz.

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2r-4s\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

(c) Im Applet kannst du im Algebrafenster (das ist das untere Fenster) nach oben scrollen und die erste Zeile einblenden (hierzu links auf den Kreis klicken). Damit kannst du die Vermutungen aus (a) und (b) überprüfen.