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Strukturierung - Lageprobleme und lineare Gleichungssysteme

Lageprobleme

In den vorangehenden Kapiteln hast du etliche Lageprobleme bearbeitet. Wir greifen sie hier nochmal auf und analysieren die Probleme und die beim Lösen benutzten Gleichungssysteme genauer.

Gegeben sind ein Punkt $P$ , eine Gerade $g$ und zwei Ebenen $E$ und $F$ :

$P (3 | 2 | 2)$

$g$ : $\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0.5 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

$E$ : $\vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0.5 \\ 1 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

$F$ : $\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + p \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 0.5 \\ 1 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ (mit $p, q \in R$ )

Wenn man die gegenseitige Lage der Objekte zueinander untersucht, ergeben sich u.a. folgende Fragestellungen:

Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ ?
Liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$ ?
Schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ ?
Schneiden sich die beiden Ebenen $E$ und $F$ ?

Mit einem Applet kann man das oft direkt klären.

Zum Herunterladen: geoobjekte.ggb

Aber, wie geht das ohne Applet? Hier kommen dann lineare Gleichungssysteme ins Spiel.

Lageprobleme in lineare Gleichungssystemen umwandeln

Die Lageprobleme lassen sich direkt in lineare Gleichungssysteme umwandeln.

Aufgabe 1

Ordne den Lageproblemen oben jeweils das passende Gleichungssystem zu. Erkläre auch, wie man vom jeweiligen Lageproblem zum Gleichungssystem gelangt. Du musst die Gleichungssysteme dann nicht lösen.

LGS A:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & - 1 & + & r & + & 2 s & = & 3 \\ [2] & 1 & - & r & + & 0.5 s & = & 2 \\ [3] & s & = & 2 \end{array}$

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] & - 1 & + & r & + & 2 s & = & 2 & + & t \\ [2] & 1 & - & r & + & 0.5 s & = & 3 & - & t \\ [3] & s & = & 1 & + & 0.5 t \end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 2 & + & t & = & 3 \\ [2] & 3 & - & t & = & 2 \\ [3] & 1 & + & 0.5 t & = & 2 \end{array}$

LGS D:

$\begin{array}{lrcrcrcrcrcr} [1] & - 1 & + & r & + & 2 s & = & 2 & + & 3 p & + & 4 q \\ [2] & 1 & - & r & + & 0.5 s & = & 2 & - & 0.5 p & + & q \\ [3] & s & = & 3 & + & p & + & 2 q \end{array}$

Aufgabe 2

(a) Welche Lageprobleme gibt es im 2D-Fall? Formuliere sie (ggf. mit einem Beispiel).

(b) Beschreibe, wie sich der Aufbau der Gleichungssysteme im 2D-Fall vom 3D-Fall unterscheidet.

Die entstehenden Gleichungssysteme untersuchen

Hier werden jetzt die Ergebnisse aus den vorangegangenen Kapiteln zusammengetragen und nach bestimmten Kriterien geordnet.

Aufgabe 3

(a) Wir betrachten zunächst den 3D-Fall. F. hat folgende tabellarische Übersicht erstellt. Erkläre alle Einträge.

Problem	benutze ein LGS mit	Anzahl der Lösungen	Schnittpunkte
schneide Punkt mit Gerade (Punktprobe)	3 Gleichungen / 1 Variable	1 / 0	Punkt / -
schneide Punkt mit Ebene (Punktprobe)	3 Gleichungen / 2 Variablen	1 / 0	Punkt / -
schneide Gerade mit Gerade	3 Gleichungen / 2 Variablen	1 / 0 / ∞	Schnittpunkt / - / Gerade
schneide Gerade mit Ebene	3 Gleichungen / 3 Variablen	1 / 0 / ∞	Schnittpunkt / - / Gerade
schneide Ebene mit Ebene	3 Gleichungen / 4 Variablen	0 / ∞	- / Gerade oder Ebene

(b) Man bezeichnet Punkte als $0$ -dimensionale Objekte, Geraden als eindimensionale Objekte (sie verlaufen in eine Richtung) und Ebenen als zweidimensionale Objekte. F. behauptet: Das LGS, das bei der Untersuchung von Lagebeziehungen entsteht, hängt direkt mit den Dimensionen der beteiligten Objekte zusammen. Erkläre, was F. damit meint.

Aufgabe 4

Erstelle eine analoge Tabelle für den 2D-Fall.