Strukturierung - Lageprobleme und lineare Gleichungssysteme

Lageprobleme

Gegeben sind ein Punkt $P$, eine Gerade $g$ und zwei Ebenen $E$ und $F$:

$P(3|2|2)$

$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$E$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0.5 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

$F$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + p \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -0.5 \\ 1 \end{array}\right) + q \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $p, q \in \mathbb{R}$)

Wenn man die gegenseitige Lage der Objekte zueinander untersucht, ergeben sich u.a. folgende Fragestellungen:

• Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$?
• Liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$?
• Schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$?
• Schneiden sich die beiden Ebenen $E$ und $F$?

Mit einem Applet kann man das oft direkt klären.

Zum Herunterladen: geoobjekte.ggb

Aber, wie geht das ohne Applet? Hier kommen dann lineare Gleichungssysteme ins Spiel.

Lageprobleme in lineare Gleichungssystemen umwandeln

Die Lageprobleme lassen sich direkt in lineare Gleichungssysteme umwandeln.

Aufgabe 1

Ordne den Lageproblemen oben jeweils das passende Gleichungssystem zu. Erkläre auch, wie man vom jeweiligen Lageproblem zum Gleichungssystem gelangt. Du musst die Gleichungssysteme dann nicht lösen.

LGS A:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -1 &+& r &+& 2s & = & 3 \\ [2] &\quad 1 &-& r &+& 0.5s & = & 2\\ [3] &\quad & & & &s & = & 2 \end{array}$

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad -1 &+& r &+& 2s & = & 2 &+& t \\ [2] &\quad 1 &-& r &+& 0.5s & = & 3 &-& t\\ [3] &\quad & & & &s & = & 1 &+& 0.5t \end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 &+& t & = & 3 \\ [2] &\quad 3 &-& t & = & 2\\ [3] &\quad 1 &+& 0.5t & = & 2 \end{array}$

LGS D:

$\begin{array}{lrcrcrcrcrcr} [1] &\quad -1 &+& r &+& 2s & = & 2 &+& 3p &+& 4q \\ [2] &\quad 1 &-& r &+& 0.5s & = & 2 &-& 0.5p &+& q\\ [3] &\quad & & & &s & = & 3 &+& p &+& 2q \end{array}$

Aufgabe 2

(a) Welche Lageprobleme gibt es im 2D-Fall? Formuliere sie (ggf. mit einem Beispiel).

(b) Beschreibe, wie sich der Aufbau der Gleichungssysteme im 2D-Fall vom 3D-Fall unterscheidet.

Die entstehenden Gleichungssysteme untersuchen

Hier werden jetzt die Ergebnisse aus den vorangegangenen Kapiteln zusammengetragen und nach bestimmten Kriterien geordnet.

Aufgabe 3

(a) Wir betrachten zunächst den 3D-Fall. F. hat folgende tabellarische Übersicht erstellt. Erkläre alle Einträge.

Problem	benutze ein LGS mit	Anzahl der Lösungen	Schnittpunkte
schneide Punkt mit Gerade (Punktprobe)	3 Gleichungen / 1 Variable	1 / 0	Punkt / -
schneide Punkt mit Ebene (Punktprobe)	3 Gleichungen / 2 Variablen	1 / 0	Punkt / -
schneide Gerade mit Gerade	3 Gleichungen / 2 Variablen	1 / 0 / ∞	Schnittpunkt / - / Gerade
schneide Gerade mit Ebene	3 Gleichungen / 3 Variablen	1 / 0 / ∞	Schnittpunkt / - / Gerade
schneide Ebene mit Ebene	3 Gleichungen / 4 Variablen	0 / ∞	- / Gerade oder Ebene

(b) Man bezeichnet Punkte als $0$-dimensionale Objekte, Geraden als eindimensionale Objekte (sie verlaufen in eine Richtung) und Ebenen als zweidimensionale Objekte. F. behauptet: Das LGS, das bei der Untersuchung von Lagebeziehungen entsteht, hängt direkt mit den Dimensionen der beteiligten Objekte zusammen. Erkläre, was F. damit meint.

Aufgabe 4

Erstelle eine analoge Tabelle für den 2D-Fall.